物质据说都已判定是自相矛盾的。他们向我们保证，除了“绝对”以外，什么都不是真
的。
这个“绝对”只能思维它自己，因为没有什么别的东西它可以思维，而且，它永恒
地思维唯心论的哲学家们在他们的书里所思维的那种东西。
黑格尔主义者用来责难数学和物理学所讲的东西的所有论证都是依靠内在关系公理。
所以，当我否定了这个公理的时候，我开始相信黑格尔主义者们所不相信的所有东西。
这就给了我一个非常充实的宇宙。在我的想象中，所有的数目都排成一行，坐在柏拉图
的天上。（参看我的《名人的恶梦》，“数学家的恶梦”。）我以为空间的点和时间的
瞬是实际存在的实体，物质很可能是由实有的元素而成，如物理学家们为方便而设的那
些元素。我相信有一个共相的世界，这个世界大部分是由动词和介词的意义而成。最重
要的是，我已经不再必须认为数学不是全真。黑格尔主义者们总是主张二加二等于四不
完全是真的。但是他们的意思并不是说，二加二等于４．００００１或者某个这样的数
目。虽然他们没有说，他们却真有这样的意思：“绝对可以找到比做加法更好的事来占
住它的心”，但他们不喜欢用这样简单的语言来说这样的事。
随着时间的消逝，我的宇宙就不那么丰富了。我最初背叛了黑格尔的时候，我相信，
如果黑格尔对一件东西不能存在的证明是伪的，那件东西就一定是存在的。慢慢地，奥
卡姆剃刀给了我一个剃得更干净的关于真实的图画。我并不是说，它能够证明它所表明
是不必要的那些实体不是真的，我只是说，它把支持它们是真的那些论证给销除了。我
现在仍然认为，否证整数、点、瞬或奥林匹斯神的存在是不可能的。
就我所知，这些都可能是真的，但是没有丝毫理由认为的确是如此。
在发展这种新哲学的早期，我是忙于主要是语言上的问题。我关心的是，什么使一
个复合的东西成为一个统一体，特别是一个句子的统一体。一个句子和一个字的不同使
我无法索解。我发见，一个句子的统一体有赖于它包含一个动词这样一个事实，但是在
我看来，这个动词和与之相应的那个动名词完全同其意义，虽然这个动名词已经没有把
这个复合体的各部分连合到一起的能力。ｉｓ和ｂｅｉｎｇ的不同使我烦恼。我的岳母
是一位著名的、泼辣的宗教领袖，她对我很肯定地说，哲学之所以难，只是因为它用的
字长。我用以下这句话对付她（这句话是我那天所做的笔记里来的）：“‘存在’之所
指是存在的，因此与‘存在’不同，因为‘存在’‘存在’是糊涂话。”不能说这句话
之所以难懂是因为句子里的字长。随着时间的流逝，我就不再被这样的问题所缠绕了。
这些问题之所由起，是因为相信，如果一个字是指什么，一定就有它所指的某种东西。
我在一九○五年所创获的“描述学说”表明了这种错误，把很多原来无法解决的问题一
扫而光。
虽然自从早期的那些日子以来我已经改变了对于很多事物的见解，可是对于那时和
现在都极关重要的一些点却没有变。我仍然坚持外在关系学说和与之相连的多元论。我
仍然主张，一个孤立的真理可以是全真的。我仍然主张，分析不是曲解。我仍然主张，
如果不是同义语的一个命题是真的，其为真是因为对一事实有关系，并且，一般说来，
事实是离经验而独立的。我见不到有什么不可能一个宇宙中完全不存在经验。相反，我
认为经验是宇宙的一个很小部分的很有限、在宇宙中很微不足道的一方面。自从放弃了
康德和黑格尔的学说以来，我对于这些事物的见解一直没有变。
我的哲学的发展
第六章 数学中的逻辑技巧
我认为大学中有院系之分是必要的，但其结果是很不幸的。逻辑被人看做是哲学的
一个分枝，而且曾为亚里士多德所论述过，因此大家就认为这一个科目只有熟悉希腊文
的人才能讨论。结果，数学只被不懂逻辑的人所讨论。自亚里士多德和欧几里德时代到
本世纪，这种分裂是有很大的损害的。
在一九○○年巴黎开国际哲学会的时候，我意识到逻辑改革对于数理哲学的重要性。
我是因为听了来自突林的皮亚诺和到会的一些别的哲学家的讨论才认识到了这一点。在
此以前，我不晓得他曾做过一些什么。但是我深深感到，在每项讨论的时候，他比别人
更精确，在逻辑上更严密。我去见他，并对他说：“我想把你所有的著作都读一下，你
身边有吗？”他有。我立刻把他的著作都读了。正是这些著作促进了我对于数学原理有
我自己的主张。
数理逻辑并不是一个新的学科。莱布尼茨曾经尝试了一下，但是由于敬重亚里士多
德，而受到了阻碍。布尔在一八五四年发表了他的《思想律》，弄出来一整套计算法，
主要是讲类的包含。皮尔斯曾经开创了一种关系逻辑。施勒德曾发表过一部著作，分三
大卷，概述了以前的成果。怀特海在他的《普遍代数学》的第一部分里专论布尔的计算
法。上面所说的这些著作大多数我那时是熟悉的。但是我不觉得这些著作对于弄明白算
术的基本原理有什么帮助。正在我去巴黎之前我关于这一个题目所写的文章的原稿，我
现在还有，我现在又把它读了一遍，我发现，关于算术对于逻辑所提出来的问题，这篇
文章连初步的解决都没有做到。
皮亚诺所给我的启发主要是来自两个纯乎是技术上的进步。如果一个人没有象我那
样花过若干年的时间想法了解算术，他很不容易知道这两种进步的重要性。这两种进步
都是弗雷格在更早一个时期取得的。我疑心皮亚诺未必知道这一点，而且我也是到后来
才知道的。虽然有困难，可是我一定尽我的能力来解释这两种进步是什么，以及为什么
很重要。我先讲这两种进步是什么。
第一种进步是把“苏格拉底是不免于死的”这种形式的命题和“一切希腊人是不免
于死的”这种形式的命题分开。亚里士多德和人所共认的关于三段论式的学说（康德以
为这种学说永远不能再有改进）认为这两种形式的命题是没有区别的，要不然，总也没
有什么大的不同。但是，事实上，若看不出这两种形式是完全不同，不论是逻辑还是算
术，都不会有长足的进展。“苏格拉底是不免于死的”把一个宾辞加于一个是人名的主
辞上。“一切希腊人是不免于死的”表示两个宾辞之间的关系，也就是，“希腊人”和
“不免于死”，把“一切希腊人是不免于死的”全部说出来是，“就ｘ的一切可能有的
值来说，如果ｘ是希腊人，ｘ是不免于死的”。这里不是一个主辞—宾辞的命题，而是
把两个命题函项连结起来。如果给ｘ这个变项指定一个值，则两个命题函项的每一个就
变成一个主辞—宾辞的命题。“一切希腊人是不免于死的”这个命题并不是单讲希腊人
怎么样，而是一个讲宇宙中一切事物的命题。若ｘ是希腊人，“如果ｘ是希腊人，ｘ就
是不免于死的”这个命题固然能够成立，若是ｘ不是希腊人，这个命题也一样能够成立。
实在说来，即使希腊人完全不存在，这个命题也能成立。“一切小人国的人是不免于死
的”是能成立的，虽则小人国的人是不存在的。“一切希腊人是不免于死的”之所以不
同于“苏格拉底是不免于死的”这个命题，是它并没有指明哪一个人，而仅仅是表示宾
辞与宾辞的连结。它之能够成立不能用枚举来证明，因为（再说一遍）所说的这个ｘ并
不限于是希腊人的那些ｘ，而是及于全宇宙。但是，虽然这个命题不能用枚举来证明，
却能为人所理解。我不知道是否有长翅膀的马，这样的马我确是从来没有见过，但是我
却可以知道一切长翅膀的马都是马。总而言之，凡含有“一切”这两个字的命题都是包
含命题函项的命题，但是并不包含这些函项的任何特殊的值。
我从皮亚诺听到的第二个重要的进步是，由一个项所成的一个类和那个项并不相等。
例如，“地球的卫星”是一个类，它只有一个项，就是，月亮。但是把一个类和它仅有
的项等同起来，就在集合的逻辑里引起完全无法解决的问题来，因此在数的逻辑里也引
起完全无法解决的问题来，因为数所适用的是集合。一经指出，就很容易明白把“地球
的卫星”和月亮等同是不适当的。如果发现地球有第二个卫星，“地球的卫星”这个短
语不会改变它的意义；对于一个懂天文学却不知道地球有一个卫星的人，这个短语也不
会缺乏意义。从另一方面说，如果我们可以把“月亮”当做一个名称，关于月亮的命题，
除了对于那些晓得月亮的人以外是没有意义的。对于不晓得月亮的人如果不解释“月亮”
就等于“地球唯一的卫星”这个短语，“月亮”不过是一个没有意义的声音罢了；
如果这个解释被代替了，关于月亮的命题就没有我们说：“今天晚上月亮亮”的时
候在你和我看来所具的意义。一个人不用描写，他是把概念连结到一起，不是和感觉世
界直接相接触。一个人说：“月亮亮”，他却是和感觉世界直接相接触。关于这一点，
我们现在所讨论的这个区别，和前面我们所说“苏格拉底是不免于死的”跟“一切希腊
人是不免于死的”之间的分别，有些相似。
读者说不定会以为，上边的那些区别不过是学究的装腔做势，卖弄学问。我现在不
能不想法说明并非如此。
弗雷格以前的作者都把算术的哲理想错了。他们这些人所犯的错误是一个很自然的
错误。他们以为数目是由数数儿得来的。他们陷入了无法解决的困境，是因为可以算做
一个的东西，也一样可以算做多。请以这样一个问题为例：“英国有多少足球俱乐部？”
在回答这一个问题的时候，你把每一个俱乐部当做一，但是你也一样可以问：“某某足
球俱乐部有多少会员？”那样，你就把这个俱乐部当做多了。而且，如果甲先生是这些
俱乐部之一的一个会员，虽然他原先算做一，你这样问也一样正当：“甲先生是由多少
分子而成的？”那么，甲先生就算是多。所以，显而易见，从计算的观点来说，使什么
东西之为一，不是这件东西的物质构造，而是“这是什么的一个具体例子？”这个问题。
你从计算所得来的数目是某种集体的数目。在你数这个集体以前，它无论什么数目都有。
只是按某种东西的许多实例来说，这个集体才是多。这个集体又是另一种东西的一个实
例，在数数目的时候是按实例来说算做一。这样我们就不得不面向这一个问题：“一个
集体是什么？”和“一个实例是什么？”若是不用命题函项，二者都无法理解。一个命
题函项就是一个式子，其中包含一个变项，一旦给这个变项定一个值，这个式子就成了
一个命题。举例来说，“ｘ是一个人”是一个命题函项。如果我们用苏格拉底或柏拉图
或任何别的人来代替ｘ，我们就得到一个命题。我们也可以用一个什么不是人的东西来
代替ｘ，我们仍然得到一个命题，虽然按这一个例子来说这个命题是不能成立的。一个
命题函项仅是一个式子而已。它本身并不能表示任何东西。它可以作一句话的一部分，
这句话确有所断定，能成立或不能成立：“ｘ是一个使徒”是没有意义的。但是“ｘ有
十二个值，因此‘ｘ是一个使徒’是能成立的”是一个完整的句子。类似的话也可以用
于实例这个概念。我们把某种东西当做一个实例的时候，我们是把它当做一个命题函项
里一个变项的一个可能有的值。如果我说：“苏格拉底是人的一个实例”，我的意思是
说，苏格拉底是ｘ的一个值，因此“ｘ是一个人”是能成立的。经院哲学家有一句格言，
意思是说，一和存在是同义语。这句格言只要大家信以为真，就没有法子把１的意义弄
明确。事实的真相是，存在是一个没有用处的字。而且，误用这个字的人应用这个字所
应用到的那种事物既可以是一，也往往可以是多。·一不是事物的一个特征，而是某些
命题函项的一个特征，就是说，有以下这种特性的那些命题函项：有一个ｘ使这个函项
为真，而且这个ｘ是这样，如果ｙ使这个函项为真，ｙ就和ｘ是同一的。这是一元函数
的定义。１这个数目是一元的特性，这种特性是为某些函数所具有的。同样，零函数是
一个对于ｘ的所有的值来说都是错误的函数，成为一个零函数，其特性是０。
关于数的那些旧的学说，到０和１以上，总是遇到困难。
最初使我得到很深的印象的是皮亚诺对付这些困难的本领。
但是须待很多年之后我才得到这个新观点的全部结论。在数学中想出“类”来是方
便的。有一个长的时期，我以为把类和命题函项加以区别是必须的。可是，我最后得到
的结论是，除非是一种技术上的手段，这种区别是不必要的。“命题函项”这种话听起
来也许可怕，却无怕的必要。有很多时候我们可以用“特性”这个字来代替。所以我们
可以说，每个数是某些特性的一种特性。但是，除了做最后的分析，继续用“类”这个
字也许更容易一些。
以上所说的理由使我得出来的关于数的定义，弗雷格已先于我十六年就得出来了。
但是关于这一点，我是在我重新发现这个定义大约一年以后才知道的。我对于２所下的
定义是一切双的类，３是一切三个一组的类，等等。一双的定义是一个类，这个类有ｘ
项和ｙ项，ｘ和ｙ不等同，并且，如果ｚ是这一个类的一项，ｚ就和ｘ或ｙ相等。一般
说来，一个数就是一组的类，这一�