至少有一种很类似的矛盾大概是不能用这种学说解决的。看来所有逻辑的对象或所有命
题，全体包含一种基本的逻辑上的困难。这种困难的完满解决是什么，我还没有发现到；
但是因为它影响推理的基础，我恳切盼望所有治逻辑学的人对它加意研究。”
《数学的原理》写完之后，我准备决意对于这些悖论找到一个解决。我觉得这几乎
是对我个人的一个挑战，而且，如果势不得已，我就要花掉我整个的余年来应战。但是
有两个理由我以为这是极其不愉快的。第一，我觉得这整个问题是无足重轻的。我极不
愿意把注意力集中在一件并不见得实在是有趣的事情上。第二，恁其我怎么努力，我没
有进展。一九○三年和一九○四年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但
是毫不成功。我第一个成就是一九○五年春季的叙述学说。这个学说我将在下文谈到。
在表面上看，这是和这些矛盾没有关系的，但是后来一种没有想到的关系出现了。最后，
我看得十分清楚，类型说的某种形式是极关紧要的。我现在不着重来讲在《数学原理》
里讲到的那个学说的特殊形式。但是我仍全然深信，没有这个学说的某种形式，这些悖
论就无法解决。
正当我在寻求一个解决办法的时候，我觉得如果这个解决完全令人满意，那就必须
有三个条件。其中的第一个是绝对必要的，那就是，这些矛盾必须消失。第二个条件最
好具备，虽然在逻辑上不是非此不可，那就是，这个解决应该尽可能使数学原样不动。
第三个条件不容易说得正确，那就是，这个解决仔细想来应该投合一种东西，我们姑名
之为“逻辑的常识”，那就是说，它最终应该象是我们一直所期待的。在这三个条件之
中，第一个当然是大家所公认的。可是第二个是为一个很大的学派所否认的，他们认为
分析的很大一部分是不正确的。那些以善用逻辑而自满的人以为第三个条件是不重要的。
举例来说，奎尹教授曾制作出一些体系来。我很佩服这些体系的巧妙，但是我无法认为
这些体系能够令人满意，因为这些体系好象专是为此创造出来的，就是一个最巧妙的逻
辑学家，如果他不曾知道这些矛盾，也是想不到这些体系的。但是，关于这一个问题已
经出现了大量而且很深奥的文献，其细微的地方我就不再多说了。
撇开困难的专门细节不谈，我们可以把类型说的梗概说一说。也许研究这个学说的
最好的办法是考查一个“类”的意义是什么。我们先用一个平凡的例子来说明。假定饭
后请你吃饭的主人在三种甜食里面请你挑选，要你吃一种或两种，或三种都吃，随你的
意。你可以有多少办法呢？你可以都谢绝。这是一种办法。你可以在甜食之中取一种。
这有三种不同的可能的办法，所以你又有三种选择。你可以选得甜食之中的两种。这又
可能有三种办法。或者三种甜食你都要。这给你一个最后的可能性。这样说来，可能性
的总数是八，也就是２３。不难把这个程序归纳成通则。假定在你面前有ｎ那么多的东
西，你想知道在ｎ之中一个不选，或选几个，或者都要，一共有多少选择。你就要知道，
办法的数目是２n。用逻辑的语言来说：一个有ｎ项的类有２n那么多的次一级的类。如
果ｎ是无限的，这一个命题仍然是正确的。坎特所证明的是，即使在这一个例子中，２
n是大于ｎ。如果像我那样把这个应用于宇宙中的一切事物，我们就得到这样一个结论：
事物的类是多于事物。因此类就不是“事物”。但是，因为没人十分懂得这句话里“事
物”这个字是什么意思，把我们所已经证明出来的东西很确切地说出来是不很容易的。
我所不能不得出来的结论是：类不过是说话时的一种方便而已。在我写作《数学的原理》
的时候，关于类这个问题我已经有些觉得没有办法。可是，我那时候表达意思所用的语
言，我现在想来，是不应该那么有实在论的色彩的（实在论是取经院哲学上的意义）。
我在那本书的序文中曾这样说：
“讨论难以界说的东西（占哲学逻辑的主要部分）是想法子把这些实体看得清楚，
也是使别人看明白这些实体，这样，我们的心理也许对于这些实体有一种认识，和认识
红的颜色或菠萝的味道一样。凡我们获得难以界说的东西主要是在分析过程中必然留有
残余的时候（现在所说的例子就是如此），知道一定有这样的实体往往比实际上觉察到
这些实体要容易一些；有一种过程，这种过程和发现海王星的过程相类似，只是有一个
不同之点，就是，用精神的望远镜来寻求那个已经推论出来的实体，这个最后的阶段往
往是从事这件事情最困难的部分。关于类这个例子，我不得不坦白地说，我没有看出有
任何概念可以满足类这个概念的必要条件。在第十章中所讨论的矛盾，证明有些东西不
大对，但是，这究竟是什么我一直看不出来。”
我现在对于这件事的说法应该有些不同了。我应该说，假定有任何命题函数，比如
说fx，那么x的值就有一个相当的范围，就这个值的范围来说，这个函数是“有意义的”，
也就是说，不是真就是伪。如果ａ是在这个范围之中，fa就是一个命题，这个命题不
是真就是伪。除了用一个常数代替x这个变数以外，关于一个命题函数，还有两件事可做：
一件是说它永远是真；另一件是说它有时是真。“如果x是人，x就不免于死”这一个命
题函数永远是真；“x是人”这一个命题函数有时是真。所以关于一个命题函数有三件事
情可做：第一是用一个常数来代替变数；第二是对于这个函数的一切值加以断定；第三
是对于一些值，或者至少一个值，加以断定。
命题函数本身只是一个式子而已。它并不对于什么加以断定或否定。同样，一个类
不过是一个式子而已。它只是谈使这个函数为真的变数的那些值的一种方便方法而已。
关于上面所说解决这个问题所需要的三个必要条件之中的第三个条件，我曾提出来
一个学说，这个学说好象是不合别的那些逻辑学家的意的。可是在我看来，这个学说仍
然是正确的。这个学说可以述之如下：当我对于一个fx函数的一切值加以断定的时候，
我断定的若要明确，x所能采取的值就必须是明确的。那就是说，x所可能有的值必须有
一个总体。
如果我现在进而创立以那个总体来说明的新的值，这个总体好象就因此扩大了，而
且与它有关的新的值也就因此和那个扩大了的总体有了关系。但是，因为新的值不能不
包括在这个总体之中，这个总体就永远追不上这些新的值，这个过程就好象你想要跳到
你的头的影子上。我们用那个关于说谎的人的悖论最能简单地对于这一点加以说明。那
个说谎的人说：
“不论我说什么都是假的”。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他
所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。我们不能
不把涉及命题总体的命题和不涉及命题总体的命题加以区分。那些涉及命题总体的命题
决不能是那个总体之中的份子。第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；
第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。所以我们那
位说谎的人现在就不能不说：“现在就是肯定一个第一级的伪命题，这是伪的。”但这
本身是一个第二级的命题。
所以他不是说出任何第一级的命题。因此他所说的简直就是伪的，说它也是真的这
种议论不攻自破。这种论证完全可以用于任何高一级的命题。
我们可以发见，在一切逻辑的悖论里都有一种反身的自指，这种反身自指应该根据
同样的理由加以指斥。那就是说，它包含讲那个总体的某种东西（这种东西又是总体中
的一份子）。如果这个总体已经固定了，这种东西才有明确的意义。
我不能不坦白地说，这个学说还没有获得广泛的承认。但是我还没有见到能使我信
服的反对这个学说的论证。
前面曾经提过的叙述学说是在发表于一九○五年《心》学报的我的一篇文章《论指
示》中第一次提出的。那时的那位编辑人觉得这个学说很不合理，他请我重加考虑，不
要要求照原样发表。但是，我相信这个学说是正确的，我拒绝让步。
这个学说后来得到普遍的承认，大家以为这是我对于逻辑最重要的贡献。的确，现
在那些不相信名称和别的字之间是有区别的人对于这个学说是有一种反应。但是我认为
只有在那些没有弄过数理逻辑的人之中才有这种反应。总而言之，我在他们的批评里看
不出任何正确性来。可是我承认，也许名称学说要比我有一个时期所想的稍微难一点。
可是我暂时把这些困难搁下不管，来讲一讲普通所用的日常语言。
我曾取“斯考特”这个名称和“《威弗雷》的作者”这个叙述之间的对比来作我的
论证之用。“斯考特是《威弗雷》的作者”这个命题是表示一个同一性，不表示一个同
义反复。
佐治第四想知道斯考特是不是《威弗雷》的作者，可是他并不想知道斯考特是不是
斯考特。虽然这使每一个未曾研究过逻辑的人都能了解，对于逻辑学家却是一个谜。逻
辑学家们认为（也可以说从前认为），如果两种措辞是指一种东西，包含其一措辞的一
个命题就永远可以被包含另一种措辞的一个命题所代替，而不失其为真，如果原来那个
命题是真，或不失其为伪，如果原来那个命题是伪。但是，我们已经说过，用“斯考特”
代替了“《威弗雷》的作者”之后，你可以把一个真命题变成一个伪命题。这表明不能
不把一个名称和一个叙述加以区别：“斯考特”是一个名称，可是“《威弗雷》的作者”
就是一个叙述。
名称与叙述之间另外一种重要的分别是，如果一个名称没有所指，它在一个命题里
就没有意义，而一个叙述却不受这种限制。我对麦农的工作原是表很大的敬意的，他却
看不出这种区别来。他曾经指出，我们可以提出一些命题来，其逻辑的主辞是“金山”，
虽则金山并不存在。他的持论是，如果你说金山并不存在，显然你所说的有一种东西是
不存在的，也就是说，金山：所以金山一定是存在于柏拉图哲学里某种渺茫的有的世界
之中，因为，若不是如此，你的那个金山不存在的命题就是没有意义的。我老实说，在
我想出叙述学说以前，我觉得麦农这种论证是令人信服的。这个学说的要点是，虽然
“金山”在文法上可以是一个有意义的命题的主辞，这样一个命题，如果正确地分析了
以后，就没有这样一个主辞了。“金山不存在”这个命题就变成了“就x的一切值来说，
‘x是金的而且是一座山’这个命题函项是伪的”。“斯考特是《威弗雷》的作者”这个
命题变成了“就x的一切值来说，‘x写了《威弗雷》’等于‘x是斯考特’。”在这里，
“《威弗雷》的作者”的字样就不再出现了。
这个学说还弄明白了“存在”是什么意思。“《威弗雷》的作者存在”意思是说
“有一个ｃ的值，就这一个值来说，ｘ写了《威弗雷》’永远等于‘x是ｃ’这一个命题
函项是真的。”
从这个意义来说，存在只能用来说一个叙述，而且，经过了分析之后，就可以见出
是一个命题函项的例子，至少就变项的一个值来说是真的。我们可以说“《威弗雷》的
作者存在”，我们也可以说“斯考特是《威弗雷》的作者”，但是“斯考特存在”是不
正确的说法。这种说法最多能解释为有这种意思：“名叫斯考特的那个人存在”，但是
“名叫斯考特的那个人”是一个叙述，不是一个名称。凡是把一个名称适当地当做一个
名称用的时候，说“它存在”是不正确的。
叙述学说的主要之点是，一个短语对于一句话的意思可以有所贡献，若是单独用的
时候就完全不具有任何意义。就叙述来说，关于这一点有精确的证明：如果“《威弗雷》
的作者”是指“斯考特”以外的什么东西，“斯考特是《威弗雷》的作者”就是伪的，
实际上这个命题并不伪。如果“《威弗雷》的作者”是指斯考特，“斯考特是《威弗雷》
的作者”就是同义反复，而实际上并非如此。所以，“《威弗雷》的作者”既不指“斯
考特”，也不指什么别的东西。那就是说，“《威弗雷》的作者”什么也不指。证讫。
我的哲学的发展
第八章 《数学原理》：
数学方面
大家只从哲学的观点来看《数学原理》，怀特海和我对此都表失望。对于关于矛盾
的讨论和是否普通数学是从纯乎逻辑的前提正确地演绎出来的问题，大家很有兴趣，但
是对于这部书里所发现的数学技巧，大家是不感兴趣的。我从前知道只有六个人读了这
部书的后面几部分。其中三个是波兰人，后来（我相信）被希特勒给清算掉了。另外三
个是得克萨斯州人，后来被同化得很满意。甚至有些人，他们所研究的问题和我们的问
题完全一样，认为不值得查一查《数学原理》关于这些问题是怎么说的。我举两个例子：
大约在《数学原理》出版十年之后，《数学纪事》发表了一篇长文，其中一些结果我们
在我们的书里的第四部分不约而同早已经弄出来了。这篇文章里有些错误，我们却避免
了，可是没有一个正确的地方不是我们已经发表过的。这篇文章的作者显然完全不知道
他的这种工作早已经有人先他而为之了。第二个例子是在我在加利福尼亚大学和莱申巴
赫同事的时候出现的。他告诉我，他有一项发明，他�