闵可夫斯基世界线的时间测量长度的结果：闵可夫斯基距离RQ大于距离RS和SQ之和，这与通常的欧几里得解释相反。今天，对于以接近光速c运动的基本粒子，这些效应已经从实验上得到了很好的确证。
在闵可夫斯基空－时框架中，物理定律对于特定惯性系的不变性已经由洛仑兹变换所实现。具有伽利略不变性的牛顿空－时在极限的情形下仍然保持：诸如行星天体或地面上的弹子球的运动，它们的速度要远小于常数c。在此意义上，爱因斯坦空－时是经典物理学的顶点，而不是一场打破牛顿空－时的革命。
由莱布尼茨首先引入经典物理学的一个重要概念是能量，它包括系统的动能T和势能U。使质点从位置1移动到位置2完成的机械功，相当于在位置1和位置2之间的动能之差。如果机械功与从位置1到位置2的路径无关，则相应的力场叫做保守力场。摩擦力不是保守力。在一维情形，忽略掉摩擦力时，所有的力都必定是保守的，因为此时从直线上的一点到另一点只有唯一的路径。总能量T＋U在保守力场中是一个常量。
牛顿力学的一个重要应用是谐振子，如小振幅的单摆或弹簧上重锤的上下振动。在物理学各个领域中甚至在化学和生物学中，谐振子都是一种模型。例如，回忆一下电磁光波，在此发生着电场能和磁场能的振动。谐振子在技术中也为人们所熟知，例如线圈和电容中振荡的电流，这里摩擦力相当于电阻。在18世纪和19世纪的哲学中，单摆是机械宇宙的一个象征，它显得是完全确定的，并可由运动的牛顿方程进行计算。
因此，单摆可以看作动力学建模程序的一个经典例子。这种模型假定，摆杆轻巧而又坚固，上端的结合部完全无摩擦，底部的重锤沉重但体积非常小。重力总是将其垂直下拉。在图2．7a中，二维欧几里得平面中的单摆升高角度为a，重力为F，沿摆杆的拉力为Fcosa，力Fsina使之回摆。为了形象地表示出单摆的动力行为，必须建立起态空间和相图的动力学模型。单摆的状态是完全由角度变量α（α＝0和α＝2π表示同样的角度）和角速度v决定的。因此，我们获得一种二维态空间，它可以形象地表示为图2．7b中的循环圆柱。在圆柱中部的垂直圆圈代表了零角速度v＝0的状态。圆柱下部从前至后的直线是（零倾斜α＝0）轴线，单摆在此处于最低点。在起点（α，v）＝（0，0），单摆处于最低的静止位置。
由于在此没有摩擦和空气阻力，把单摆稍微向左边动一下后就会使它不断地来回摆动。在此态空间，相应于这个振荡运动的完整轨迹是一个圆圈，或封闭的环。在下一种情形中，单摆在顶部处于平衡状态，这是不稳定平衡。在左边的一个细微的触动会使得它向右边落下，并加快速度。当单摆通过摆动的底部时，角速度达到其极大值。在再向顶部返回时，单摆会慢下来。单摆再次在其顶部达到平衡。但是，当其处于旋转始态时，用了较大的力使之向右运动，那么其角速度就要大一些。在再次返回运动时，它会变慢，但是不足以在顶部静止下来。于是，单摆就会不停地顺时针旋转下去。在圆柱态空间的相应轨迹是一个循环圈。与慢的振荡不同，快的循环绕圆柱转动。实施多次的试验将揭示这个动力模型的相图（图2．8a）。在此有两个平衡点。在顶部是一个鞍点。在起始处是一个涡旋点，它不是附近轨迹的极限点。当把圆柱沿着直线通过顶部的鞍点从前向后劈开时（图2．8b），相图就更容易看清楚。
如果此系统不是封闭的，而是像物理现实中包括了摩擦效应，在起始处平衡点就不再是涡旋点（图2．8c）。它成为螺旋类型的吸引子。由于摩擦，单摆的任何运动最终都将静止下来，任何代表此单摆接近底部的慢运动，都将对称地趋向这个极限点。
在两维或更多维的情形下，还可以有其他类型的轨迹和极限集。例如，一个环可以是反对称的轨迹极限集（图2．9）；在三维系统中，可能出现环形圆纹曲面的极限集，甚至是其他更奇怪的极限集。
极限集使我们能够为一个演化系统建立平衡态的模型。关键的概念是被称作“吸引子”的极限集。数学上，一个极限集（极限环、循环、环形圆纹曲面等等）被称作一个吸引子，如果所有轨迹都反对称地趋向于该极限集的集合是开放的。大致地说，吸引子接受了极限集邻域中的绝大多数轨迹。代表了系统的可能动态平衡点的所有极限集中，吸引子是最引人瞩目的。在外在极限点的情形下，一个吸引子代表了一个静态平衡，而作为吸引子的一个极限环标志了一个振荡周期性平衡。单摆、弹簧或乐器的振动只是机械应用的若干种例子。我们在后面还将看到，振荡动力系统的周期平衡在物理学、化学、生物学和社会科学中都起着重要的作用。
在典型的相图中，将有一个以上的吸引子。相图将被划分为它们的不同的趋向吸引子的区域。划分的边界或区域被称作分区。图2。10中，有两个点吸引子，各具自己趋向轨迹的开放集和自己的分区。
在现实中，一个动力系统不可能被看作是独立于其他动力系统的。为了获得更适合的模型，我们将研究两个耦合的系统。一个简单的例子是两个时钟的耦合。历史上，17世纪克里斯蒂安·惠更斯观察到了这种特殊的系统。他注意到，挂在同一面墙上的两个时钟趋向于同步。这种现象是通过墙壁的弹性由非线性耦合引起的。的确，任何两个动力系统，通过构造出两个相应的态空间的笛卡尔乘积，都可以组合成一个系统。这种组合系统的一个小的扰动叫做两个系统的一个耦合。这种组合系统的状态的几何模型以如下方式形成。
时钟A和B都是一种振荡子。为了形象地表示出两个振荡子的渐进线行为，瞬时行为被忽略，位移和速度两个参量的绕起点的极限环的欧几里得平面二维状态模型也就用该极限环来代替。振荡子A的一个状态，用一个相应于它的相的角度a来说明（图2．11a），振荡子B的一个状态则用角度B来说明（图2．11b）。
为了构造出这两个振荡子组合系统的态空间，我们设想时钟A的极限环在水平平面上。这个平面循环中的每一点代表A的一个相状态。我们将这样一个点看作时钟B的极限环的中心，时钟B垂直于时钟A的水平平面（图2．11。）。该垂直循环上的每一点代表了B的一个相状态。相对（a，B）就代表了组合系统的状态。
如果振荡子A停止在相a，振荡子B通过一个完整循环，那么组合的相点横穿过图2．11c中的垂直循环。如果振荡子A也运动通过一个完整循环，那么图2．11c中的垂直循环也沿着水平循环运动，描出图2．11d中的环形圆纹曲面。因此，两个振荡子的组合系统的态空间是环形圆纹曲面，它是两个循环的笛卡尔乘积。两个振荡子的实际状态的模型当然是四维的，而不是我们的示意图中仅仅是二维的。
为了获得组合系统的动力学行为的相图，我们必须研究环形圆纹曲面态空间的矢量场和轨迹。我们首先假定，每一个时钟的状态都与另一个时钟的状态完全无关。在这种情形下，两个时钟是没有耦合的。相应于每一时钟的时间相的环形圆纹曲面上的轨迹点，都围绕环形圆纹曲面。如果每一时钟的速率都是恒定的，那么在此扁平垂直的环形圆纹曲面模型上，轨迹是一条直线（图2．12）。这条线的斜度是时钟B的速率与时钟A的速率的比值。如果两个时钟具有相同的运行速率，则比值等于1。给出相同的时间意味着两个时钟具有相同的相。于是，扁平环形圆纹曲面上的轨迹是图2．12a中的对角线。
系统中的微小变化，将导致两个振荡子的速率或频率比值的微小变化。于是，在环形圆纹曲面上的轨迹从周期轨迹变化成准周期轨迹，或变化成多次缠绕的周期轨迹，而不仅仅是一个周期轨迹（图2．12b）。如果两个振荡子是耦合的（例如惠更斯的两个时钟的共同墙面），那么一个小的矢量场就必须加到代表非耦合系统的动力模型中。几何分析中的一个著名定律指出，在小的扰动并不导致相图发生显著的变化的意义上，环形圆纹曲面上的轨迹边缘是结构上稳定的。从实验上看，这个结果已从惠更斯对于同一面墙上两个时钟的同步现象的观察中得到了验证。
对于为大自然建模的程序，振荡子是一个中心动力学范式。它们并不局限于机械应用。在19世纪，赫尔曼·冯·赫尔姆霍兹发明了一种电振荡器，瑞利勋爵研究了早期无线电发射器中的真空管振荡子的耦合系统。在本世纪，冯·德·波洱运用进一步发展起来的无线电频谱电子学来理解耦合振荡子。
在牛顿的宇宙中，耦合振荡子提供了多体问题的例子。关于多个运动质点的质点系统，其中质点之间有相互作用时，对此有何共性的东西呢？两个质点的系统有简单的精确解。在具有共同向心力的两个质点的两体问题中，（12个）未知量由关于两个粒子的（10个）守恒量定律和牛顿的运动定律来确定。两个质点的问题可以成功地归结为已经解决了的单质点问题，这里利用了微分矢量r和质点m1、m2的归并质量u＝m1m2／（m1＋m2）的牛顿运动方程。历史上，伽利略假定，地球围绕太阳运动，太阳是静止的。他从而把天上的运动归结为简单的两体问题。正如我们知道的，太阳实际上围绕着地一日系统的组合质心而运动，此质心落在太阳表面之内。但是，这个假设当然仍是不精确的，因为许多行星都在同时围绕着太阳运动，它们相互之间又有相互作用。
弹子球的三体碰撞，是另一个多体问题的例子。假如弹子球仅仅成对碰撞，没有发生三体或更高级的碰撞，那么此情形就归结为两体问题。其结果不断地依赖于起始状态。起始状态的充分微小的变化，仅仅导致结果的小的变化。如果三个弹子球碰在一起，结果行为就完全取决于哪些球首先碰在一起。因此，结果是不连续地依赖于输人，而与莱布尼茨的连续性原理相反，莱布尼茨曾运用这一原理来批评笛卡尔对碰撞的探索。牛顿宇宙中，在所有时间——木论是将来还是过去——用位置和速度可以在数学上完全确定其物理行为的意义上，弹子球和行星的多体问题可以用确定论的模型来描述。但是，此种模型实际上可能是不可计算的，或对于长期来说是不可计算的。在行星理论中，对于长达数百万年的情形在计算机上进行数值模拟，可能会得到极为错误的结果，因为起始位置和速度是不可能精确知道的。在起始数据中的一个非常小的变化，可以会迅速地产生出结果的巨大变化。这种行为上的不稳定性，对于多体问题是典型的。甚至在完全确定论的世界，拉普拉斯妖的假设，即认为可以对牛顿宇宙进行长期的计算，终将暴露出完全是一种幻象。
2．3哈密顿系统、天上的混沌和量子世界的混沌
在18世纪和19世纪，牛顿力学看来是揭示了一个永恒自然之序。从现代的观点看，牛顿系统仅仅是一种在建立实在模型中有用的动力系统。为了说明牛顿系统的起始状态，必须知道其中所有粒子的位置和速度。在19世纪中叶前后，数学家威廉姆·哈密顿引入了一种非常优美的有效的数学形式。他富有成果的思想是用所谓的哈密顿函数H来标志一个保守系统，此函数H用所有位置和动量变量来表达系统的总能量（＝动能加上势能）。一个微粒的速度不过是其位置对于时间的变化率，动量则是其速度乘以质量。牛顿系统用牛顿运动第二定律来描述，此定律涉及到加速度，即位置变化率的变化。因此，在数学上，它们由二阶方程来定义。在哈密顿表达式中，有两组方程。一组方程描述粒子的动量怎样随时间而变化，另一组描述位置怎样随时间而变化。显然，哈密顿方程描述了量（例如位置或动量）的变化率。因此，我们获得了一种以一阶方程进行数学描述的还原，此方程当然是确定论的。对于具有3个独立空间方向的n个未约束粒子的动力系统，就有3n个位置坐标和3n个动量坐标。
由于适当地选用哈密顿函数H，哈密顿方程就可以用来标志任何经典动力系统，而不仅仅是牛顿系统。甚至在麦克斯韦电动力学中，就其任一给定时间的数值而言，类哈密顿方程也提供了电场和磁场随时间的变化率。唯一的区别在于，麦克斯韦的方程是场方程而不是粒子方程，描述系统的状态时需要无限数量的参量，在空间的所有点上都使用场矢量，而不是使用无限多个参量——对每一粒子都使用3个位置坐标和3个动量坐标。对于狭义相对论和（进行了某种修订的）广义相对论，哈密顿方程都是有效的。玻尔对应原理实现的由经典力学向量子力学转变的关键性步骤，甚至也采取哈密顿表达式的框架。这些应用将在后面进行解释。现在只须记住，对于物理学中建立动力学模型，哈密顿方程提供了一种普遍的表达方式。
相应的态空间允许我们把动力系统在每一“阶段”的演化形象化。因此，它们被称作相空间。对于n个粒子的系统，相空间的维数是3n＋3n＝6n。相空间的一个点代表着其中有n个粒子的可能复杂系统的整个状态。哈密顿方程决定着相空间的相点的轨迹。整体上看，它们描述了所有相点的变化率，因此定义了该相空间的一个矢量场，决定着相应系统的总的动力学。
经验应用中的一个众所周知的事实是，不可能任意精确地测定动力学模型的状态。一个数量的测量值可能有些微小的差异，它们是由测量仪器、环境的约束等等原因造成的。相应地，相点集中在某些小的邻域之中。由此引出了一个关键性问题，在其具有邻近终态的意义上，从邻近的起始态出发的轨迹是否是局域稳定的。在图2．1