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笛卡尔几何学，恢复了算术的方法，由于利用“无理数”作不可互约的长度的比数，很快就发展起来。这种无理数，证明与算术的规则相符，远在近年来找到圆满的定义与解决不可约的问题以前，就被人们深信不疑地加以采用了。
我们还可以概括地谈谈现代数学家怎样构成无穷大的理论，使芝诺以来的哲学家所争论不已的疑难问题，归于消失。这个问题本质上是数学问题，在数学的方法尚不够精深以前，这个问题是无法研究，甚至于提不出来的。
无穷级数与无穷大，在现代数学的初期，即已出现。它们的性质，有些希奇，但数学家并不以无穷大的观念为虚幻，而继续应用它们，后来终于为他们的方法找到逻辑根据。
关于无穷大的困难，一部分是由于字义的误解。这种误解，是由于把数学上的无旁大，与非数学家的哲学家所想象的无限（一种有些模糊的观念，与数学问题毫不相干），混为一谈。照字源说：“无穷大”的意义，是没有止境。但是有些无穷级数（例如现在以前的过去时刻组成的级数，又如无穷个点组成的线段）有止境，有些则没有，又有些数的集合，虽为无穷，而非级数。
其他困难，是由于想把有限数的某些特性，如可以数清的特性等，应用于无穷数。无穷级数虽其项数不可胜数，但可由其自身效类的性质而识别。并且一个无穷数，不因有所加减，甚至乘除，而变大或变小。现在把所有数字1，2，3，……书一横行，而将所有偶数2，4，6，……在其下面另书一横行。两行数字的数目相等，但下行乃从所有数的无穷集合中，取去无穷个奇数而得的。这样，全体显然不大于其部分。此种矛盾，使哲学家否认无穷数的存在。但是所谓“大于”，其意义颇为含糊。这里的“大于”，乃“含有较多项”的意义。在此意义上，全体固能等于其部分，而无自相矛盾之病。
无穷大的现代理论，是坎托在1882－3年提出来的。他证明有无穷个不同的无穷数，而较大及较小的观念，通常也可应用于无穷数。在此种观念不能应用的某些情况下，必有新问题发生。例如一长线所含数学上点的数目，与一短线所含的相等；这里所谓较大较小，并非纯粹算术的，而含有几何上的新概念。
哲学家所遭遇的困难，大部起于假设有限数的特性，能应用于无穷数。如果有限的时间与空间，为有限个数的时刻与点所组成，则芝诺的论据或可正确。为了避免芝诺的矛盾，我们可以有几条出路：（1）否认时间及空间的实在性；或（2）否认空间及时间为点与顷刻所组成；或（3）坚持认为如果空间与时间为点与时刻所组成，则点与时刻之数为无穷。芝诺与其许多信徒选择了第一条出路，而其他如柏格森等则选择了第二条出路。
但是根据其他的理由，无穷数，无穷级数，以及不合连续项的无穷集数的存在，是必须予以承认的。例如我们可以按1／2，1／4，1／8等的次序，写列一个小于1的分数级数，但在每两个分数之间，尚有其他分数，如7／16，3／8等等。在此级数中，没有两个分数是相连的，而它们的总数目是无穷的。然而在它们所有数值的总和之外还有1。因此我们必须承认在一个无穷级数的总和之外，确还有数的存在。芝诺关于线上的点数的论述，许多可应用于这分数的集数。我们不能否认分数的存在，因此我们为了有效地避免芝诺的矛盾，就必须找到一个站得住脚的无穷数的理论。
数学中的无穷数，是在可以计数的数之外的。无穷数不能靠从一个数走到下一个数的连续步骤达到。它们存在于数类中，只能以数学的术语来下定义，用数学的方法来加以检验。但凡有资格判断的人士，都一致承认数理逻辑及无穷数的数学理论，确实是在正确的路上前进。妄图证明感觉对象与科学定律为虚幻的陈旧的逻辑数据，今已证明其不确了；这一问题仍然存在，因此须另用其他方法去研究。不管许多唯心主义哲学家怎样宣讲，想用先验的心理方法推出外界的性质，实不可能。科学的观察与归纳方法，是必需的。
归纳法
从个别的现象以求概括定律的步骤，叫做归纳法。逻辑中归纳法的部分在实验科学中特别重要。从以前各章所述，我们知道有许多哲学家研究它，其中以亚里斯多德及弗兰西斯·培根最为有名。
培根赞扬实验，以为用差不多是机械式的方法可以确定地建立一般性的定律。怀疑论者休谟，则以为如果用归纳法求新知识，即使归纳法完成其应有的任务，有时也可能得到错误的结果，因此，用归纳法所得的定律，只能说多少是或然的，而不能认为是确定的。但不管休谟的意见如何，大多数科学家与若干哲学家，仍以归纳法为探求绝对真理的道路，甚至穆勒也持此信念。他把归纳法放到因果律的基础上，而认为因果律已为许多确具原因的实例所证明。惠威尔指出，单单经验可以证明一般性（generality），但不能证明普遍性（universality），但如果再加上运用必然的真理，如算术原则、几何公理及几何演绎，则普遍性也可求得。当然，这些见解都是在非欧几里得空间发现以前的事。当时虽有惠威尔的警告，穆勒的见解似乎仍然代表了当时一般的信念。正如亨利·彭加勒（Henri Poincare）所说：
自一肤浅的观察者看来，科学的真理是毫无疑问的；科学的逻辑是决无错误的；学者有时错误的原因是他未认清原则。
科学的功用，在追溯各种现象间的关系，或更恰当地说，在追溯表述各种现象的概念间的关系。但当我们，比方说，已发现气体压力的增大，使其体积缩小时，我们也同样可以说，气体体积的缩小，使其压力增大。在我们的意识看来，凡是我们先想到的变量，就是原因。由此可知原因的观念与结果的观念是暧昧不明的。只有当此中含有时间的因素时——即当互相关联的事件之一，在另一事件之后时——我们的意识，才本能地把前件（post hoc）看做是事因（Propter hoc）。但这时也不可能把一个事件的真正原因和一长串发生在前的情况——都是该事件发生的必要条件——分开。更进一步，相对论已经证明，在“此地…此时”的一个事件，只能成为绝对的未来中的事件的原因，与绝对的过去中的事件的结果。在第16图（见406页）中的中立区域内的事件，与一个“此地…此时”的事件，不能有因果的关系，因为如果这样的话，其影响的传递必将超过光速才可以。并且如果用因果原理来证明归纳法的有效性，说明它是追寻绝对真理的响导，那末，从逻辑上来说，这一原理自身便不能用归纳方法来加以证明。因此，穆勒的论据的基础就动摇了。
的确，归纳方法叙述起来是很容易的，而要证明归纳在逻辑上的有效性，则颇为困难。归纳方法确非培根式的。惠威尔指出，归纳的成功，在于出发时须有正确的观念。洞察力，想象力，或者天才，都是需要的：首先要选择最好的基本概念，并把各种现象加以妥善分类，使其适于归纳的运用；其次要制订一个临时的“定律”，作为工作假说，再以进一步的观察及实验加以检验。
现试以实例说明于下：亚里斯多德的物质及其特性、天然位置等等的观念，不能用作动力学的概念；如果说它能导出些什么，它所导出的，只是些假的结论，如重的东西坠落得较快之类。从此以后，毫无进步可言。直至伽利略及牛顿才摈弃了整个亚里斯多德的体系，从混乱之中选择距离或长度、时间及质量作为新的基本概念，这样才能对物质及运动加以思考。
伽利略利用距离和时间以及由此导出的速度，于一度失败之后，猜得落体的速度与其降落时间的正确关系，推出其数学推论，并且用实验加以证实。牛顿再添上质量的概念——本隐涵于伽利略的研究成果内——成立了运动定律，又由此推导出动力科学。这种动力学广泛地得到观察与实验的证明。
正确概念的重要是很明显的，有了正确的概念，再给予正确定义的重要性也是很明显的。所以彭加勒以为我们对于时间的测量，会不自觉地选择从正午到正午，而非从日出到日出，因为只有如此，才使牛顿的动力学成为可能。反对此说的人士，如怀德海及里奇（Ritchie），所以走到反对的地步，是因为他们把意识当作仲裁者，把我们对于各段时间相等的直接感觉，当作测量的基础。
正确的概念既已择定，人们大概就可以象伽利略那样看出概念间的某些关系。这些关系，或它们的逻辑推论，就可以用实验加以检验，而其中有些将得到证明。于是简单的定律就建立起来，而新的学科也就开始形成了。每一得到证明的新关系，又引起新的实验，实验知识的增加，又需要并引出假设性的新关系。提出可能正确的假说，需要洞察力与想象力；推求假说的推论，需要逻辑本领同时还需要数学本领；检验假说的正确性，需要忍耐、毅力与实验技巧。的确，如坎贝尔所说，归纳是一种艺术，而科学是艺术中的最高的。
从第九章所叙述的生理学及心理学最近的研究成果看来，有一些人如持“行为主义”的观点的人认为，归纳所依靠的基本方法，与心理学的“条件反射”有密切关系。婴儿触火受伤后，将来必知避火。如他触火时，火在炉内，他也将避火炉，即使炉内无火时也是如此。他前面的归纳是对的，后面的是错的，虽然从逻辑上来说，二者都是从一个特殊的例子得到的不合理的概括。相似的结果也可以在动物身上见到；但是无论其为动物或为人类，这些，在最初不过是本能的；关于这个方法的理论及其语言的表述，在很后才有，也许这就是弗洛伊德学派所说的“合理化”——即创设某种不管充分不充分的理由，以证明我们所习惯去作的是合理的。有人以为这些简单的例子可以说明甚至可以解释科学所需要的更为复杂的归纳。这些见解，在某种意义上，是心理学中“行为主义”的扩大，大概将随着那些多少有些机械地看待心理过程的观点，同其存亡。
我们现在试研究一下归纳法的正确性。近年来，有许多人尤其是凯恩斯（J．M．Keynes），把概率的数学理论应用于这个问题。凯恩斯的主要问题是：归纳是不是象穆勒所说，只要根据若干数目的实例就行？
凯恩斯所得的结论是：一个归纳的概率，确随实例的数目而增加，不过并不是因为穆勒所举的简单理由，而是因为实例愈多，则自首至末不存在第三种变更因子的可能性愈大，因此各个实例之间，除所考虑的特性外，不存其他共同点的可能性就愈来愈大。要这样增高归纳的正确性，还必须使每一新的实例具有独立性，换言之，即必须不是从其他实例推得的必然结果。一个归纳，可因实例数目的增加而达到确凿无疑，但要使此语有效，我们必须首先证明或假定我们所要证明的概括本身的内在概率，并非无穷的渺小。
在检验上述的假设时，凯恩斯认为，对象的各种特性，象某些孟德尔单元一样结合为群，因此，可能的独立的变数的数目，远较特性的总数目为少。这个原理，在应用统计以建立定律时，也很需要。实际上所有科学的知识（除由纯粹数学所得的知识外）都很需要这个原理。因此，依照凯恩斯的意见，我们必须假定，一对象只具有有限数目的独立特性的概率是有限的，依照尼科德（Nicod）的意见，一个对象具有较某一指定有限数目更少的独立特性的概率是有限的。
布罗德也用概率的方法来处理归纳。他想要证明：除非我们持有某种实在论者的信念——例如假定科学的“定律”所涉及的是构成感觉与概念的基础的持久性的客体——“否则，就不可能证明我们有理由相信‘久经考验的’归纳所得到的结果”。彻底的经验论者，或现象论者，或许回答说：这种信念，虽可用以指示将来什么可能是正确的，但往往证明其是错误的。
自然律
如果我们归纳成功，我们就可以得到一个工作假说；假说若经观测或实验证实，就成为公认的理论或学说；而最后上升到自然律之列。
自然律在哲学上的重要性，曾经为人所夸大，主要责任在于十八世纪法国百科全书学派。这种现象一直继续到十九世纪末叶。此后主要是在马赫的影响下，科学思想之摆，又摆向另一方向，自然律又变成只是经验与感觉常规的速记式记录。
现代的观点，介乎这两极端之间。例如坎贝尔于1920年，批判地分析假说、定律与学说的意义时，举出理由，说明为什么要相信：尽管把理论与事实比较时，人们对理论有些轻视，但是仅仅建立在“事实”基础上的经验定律，并不能引起多大的信赖；然而当此定律能用一种公认的理论加以解释时，人们就相信了。这样的定律，可能不只是感觉的常规。
坎贝尔以为定律有两种：（1）各种特性的一致的联想，例如“人”或“银”的概念中所隐括的特性；（2）往往用数学形式表达的各个概念间的关系。穆勒与其信徒只讲第二种定律。“他们以冗长的论文，解释我们如何发现火花在气体中激发爆炸的定律，但并不以为这样一个问题值得任何注意：我们如何发现火花、爆炸与气体所以存在的定律（在他们的讨论中是假定知道这些的）；然而这种后面所说的定律，在科学上却重要得多”。凡没有毕生致力于科学工作的人，对于不同定律的相对重要性是没有多少感觉的。
自休谟的研究以至凯