其中Lmo是众数所在组的下限，｜…1是众数组的前一组的次数，｜＋1是众数组后一组的次数，hmo是众数组的组距。
b）比例法
其中f0是众数所在组的次数，其余同上。
c）皮尔生经验法
4）分位数
a）四分位数
如果将一有序数组分割成四个部分，其三个分割点就称为四分位点。从最小数值点算起，依次称作第一、第二、第三分位数，记作Qk，k=1；2；3，且
k=1；2；3，
式中 表示第k个四分位数所在给的组下限，fk表示小于 的各组次数之和， 表示第k四分位数所在组的组距，n表示总次数。
b）百分位数
设Pk为第k百分位数，则
k=1；。。。；99
其中 是第k百分位数所在组的组下限，fk是小于 的各组次数之和， 是第k百分位数所在组组距，n是总次数。
中央趋势量在社会经济中占有十分重要的地位，群体往往有向中心均衡集中的倾向，故利用它可以反映群体。作为一个优良的中央趋势量应具有六条性质：①简单明确；②感应灵敏；③定式严谨；④计算简易；⑤代数公式化；⑥抽样稳定性好。
二、差异量数
群体中各个个体之间存在着差异，表示变异状态的数量称为差异量数。经济统计中常见的差异量数有离中差，离均差和非离均差。它们的公式如下：
（1）离中差
离中差是以Me为中心的差异量数，它包括平均差和分位差。
a）平均差
其中Me是中位数，目前多采用 代替Me。
b）分位差
①四分位差
Q。D=1/2＇Q3…Q1＇
②百分位差
（2）离均差
离均差是以 为的差异量数。如标准差等
①标准差
简捷算法公式为：
②P范数标准差
（未分组）
（分组）
（3）非离均差
非离均差有两极差、均互差等。
a）两极差（全距）
其中Uu是最大组的上限，Le是最小组的下限。
b）均互差
①未分组
②分组
若组距相等，则有
式中h是组距，Cj是以下累加次数。
与中央趋势量相仿，对差异量数的要求也是易于计算和理解，确定方式严密，感应灵敏，适于代数处理，以及受抽样变化的影响小。除中央趋势量和差异量数外，变异系数也是经济中常见的统计量，如
（1）标准差异系数
（2）平均差异系数
（3）四分位差异系数
（4）均互差异系数
（5）均互差中位差异系数
=g/Me×100％
第四章 销售机理模型化过程
本章通过销售机理分析，提出用主观概率预测模式代替简单的数学外推预测，从而改进了销售预测的方法。通过对成本机理的分析，构造了一组适用于一般情况的成本模型，在经济收益分析中，研究了盈利能力的度量模型，进而提出了广义利润、广义创利额等概念和模型。 在风险机理的分析中，采用变异系数、偏态系数、峰态系数和标准差共同度量决策的不确定性；用熵值变量决策的不肯定性以及用实现目标值的可能性度量决策的成功与失败。在时间机理分析中提出了贴标准值法，并讨论了系列收入或支出的近似模式。
§4。1 销售机理分析与基本模型
在一定时期内一定数量的某种商品，所能从生产领域经流通领域，最终进入消费领域的其客观基础是什么呢？首先，是在于该种商品有用性，〃物的有用性使物成为使用价值〃。＇30＇ 就是消费者对该商品有客观上的需求。其次，在按劳分配原则和物质利益原则下，消费者手中的货币应标志着其付出的劳动或社会分配。如果需求者认为商品的使用价值和价值大体上与其需求程度和价格相当，则有购买的可能性。显然，如果消费者愿意支付的数量小于供给量，则商品不能实现或完全实现其使用价值和价值。但如果降低价格则有可能实现。因此，合理的价格是商品顺利地进入消费领域的必要条件。
我们定义能销售量这个经济概念为：在一定的市场环境和一定的行销规划下，消费者可能愿意并能够支付的需求量。所谓市场环境是指一定的地理区域和期间内的人口、经济、政治、文化和科技等的状况和水平。行销规划是指企业对销售价格、推销途径和行销努力等方面的计划和安排。显然，影响能销量的随机因素很多，而且与决策者的预测有关。因此我们视之为主观随机变量。为了简便起见，我们设能销售量是只和价格有关的随机变量。
现在，我们分析在一定时期内未能销售掉的商品。首先，商品作为使用价值存在有一定的时间限制，〃如果商品没有按照它们的用途，在一定时期内进入生产消费或个人消费，换句话说，如果它们没有在一定时期内卖掉，它们就会变坏。并且在丧失它们的使用价值的同时，也就丧失作为交换价值承担者的属性？quot；＇31＇ 因此，逾期未能售出的商品应当降价销售。否则，对经营者来说，拖延销售时间只会增加流通费用，影响资金周转，得不偿失。于是，我们可以做出经济假说，凡逾期未能售出的商品均应及时处理掉，而且每单位商品可以收回的残值约等于处理价格。这里的处理价格是指可以及时处理掉所有剩余商品的最合理的价格。一般说来，残值总是低于处理价格。
假设现有n种待决策的商品，根据上述经济分析和假说，对有关经济量作以下数学假设：设生产量（或采购量）记为 x=（x1；x2；…xn）T，其满足x30。设能销售量是随机向量，记为：x=（x1；x2；…xn）T，其中xk（k=1；2； …；n）的期望Exk和方差Dxk都存在，且Exk是关于价格Pk单调下降的凸函数。设价格向量为P=（P1；P2…Pn）T；且P？？。其中？是价格的约束集合，特别是？= 。设处理价格为DP=（DP1；DP2；…DPn）T这是一个给定的常向量。
我们开始构造销售额模型。所谓销售额（Sales Revenue）指在一定时期内的销售收入。如果商品k的生产量或采购量Xk小于或等于能销售量xk，则商品都可以以价格Pk售出。但如果供给量Xk大于能销售量xk，则只有数量为xk的商品k以价格Pk售出。根据假说，剩下的数量为Xk－xk的商品必须以处理价格DPk及时处理掉。因此，我们得到：
销售额模型
总销售额
其中随机指标集合
J1（X，x）=｛k？Xk￡xk，1￡ k ￡ n｝
J2（X，x）=｛k？Xk》xk，1￡ k ￡ n｝
J1（X，x）∩J2（X，x）=？且J1（X，x）∪J2（X，x）
=｛1，…，n｝
我们下面给出过剩损失模型，所谓过剩损失是指由逾期未能售出商品所造成的损失。由假设DPk等于残值SVk。当Xk￡xk时剩余量为零，当Xk》xk时，剩余量为Xk－xk。每剩余一个单位的商品，则损失（Pk－DPk），因此
过剩损失：
总过剩损失：
我们对销售额模型稍作变形，则有
因此，我们有：
SRk（Xk；xk）=PkXk－ELk（Xk；xk）
其中PkXk是顺利情况下商品K的销售额。
类似地，我们有
即随机的销售收入等于正常的销售收入减去随机的过剩损失。
§4。2 成本机理分析和基本模型
经营者在从事一项经济活动中，总是要有一定的人力、物力和财力的消耗。商品成本是以货币形式表现的企业为生产和销售商品而消耗的生产资料价值和支出的劳动报酬。一个较一般的成本概念是〃成本是为了达到一个特定目的而已经发生或可能发生的，以货币计量的牺？quot；。＇33＇模型中提到的成本指已统一量纲为货币单位的成本。
我国对成本的一般分类准则有按经济性质划分的要素分类；有按用途和计入成本的方法划分的项目分类等。由于经济现实的复杂性、成本的概念、归类方式及统计方法都不太统一，严格地说来，财会的成本资料不能直接用于决策分析，因为我们难以把各种成本都归入模型。因此必须寻找有实用价值的成本概念和新的思想，做为我们模型的依据。
管理会计学为我们提供了一些极有价值的新概念和新思想。虽然有些概念从数学上看是简单的，但对经济学上却曾意味着突破。现在我们就与决策有关的概念加以分析。对于企业的一项决策而言，并非所有的成本都与决策有关，故可将成本分为相关成本（relevant cost）和无关成本（irrelevant cost）。显然，无关和相关是相对的，需因情况而异。选择模型所需成本信息时，首先应做分类工作。
根据决策者所处的管理层次，可以将成本分为可控成本（controllable cost）和不可控成本（uncontrollable cost）。决策者订出归自己控制的成本范围后，可有效地利用成本信息。
一般地说，成本的性质虽然各有不同，但就其与生产数量的关系而论，可分为固定成本（fixed cost）和变动成本（variable cost）。前者指在一定时期内，一定的经济活动规模下，不随产量而变动的费用支出；后者指随产量做正比例变动的费用支出。应当指出，还有一种半固定成本（Semifixed cost）；它随着产量的增长呈阶梯形上升。为了简便起见，我们假设已将此成本分别归入固定成本和变动成本，并且假设单位变动成本是常量。其实，变动成本不一定是线性的，但当企业的生产规模不变时，它很接近线性。对企业而言，变动成本主要是指直接原材料、直接人工等费用，对商业企业而言，变动成本主要是指进购原价、小包装费、运输费和佣金等。固定成本主要是管理费、折旧费等。
在很多经济文献中常把相关的固定成本处理成常量，但管理会计学根据固定成本涉及的范围将它划分为专属固定成本（Special cost）和联合固定成本（joint cost）。前者指专门由于某种经济活动的存在而发生的固定成本；后者指由于若干经济活动的存在而发生的固定成本。在这里我们假设，第k项数量决策Xk》0，则其专属固定成本一定发生，否则不发生其专属固定成本。当n32时，联合固定成本存在，且其为零的充要条件是所有的经济活动都不发生。
在多品种的情况下，如何合理地把固定成本分摊到各项商品的成本之中是很重要的。一般的分摊方法有按固定资本占有分摊，按销售额分摊或按变动成本分摊等方式。我们假设，固定成本分摊系数是已知的，现在我们讨论一种特殊的成本或损失，即所谓机会成本（Opportunity cost or alternative）。机会成本并非通常所谓的成本，而是指在投资方案的选择中，如果选择了一个投资方案，则必须放弃投资于其他途径的机会，其他途径中最好的一种投资的收益，就称为这项投资方案的机会成本。机会成本与实支成本（Outlay cost）是相对应的。在我们研究的问题中，缺货成本（Shortage cost）就是一项机会成本。即在企业确有剩余生产能力或购销能力的情况下，因决策时优柔寡断或判断失误，没有能够及时地适量地向市场提供商品而损失的潜在收益。一般说来，商品k的机会损失应小于单位创利额。但应指出缺货成本不仅是含有一定的主观因素，而且也包含客观上可能发生的成本。生产企业的缺货成本中可能包括生产能力闲置损失，加急订原材料费以及追加生产费用等；商业企业的缺货成本中可能包括行销能力闲置损失、加急进货费用、相关商品的销货损失以及商誉损失等。
鉴于这些情况，我们认为缺货的可能性很小或根本不承认缺货成本。可以令其为零；如果不允许缺货，则缺货成本为无穷大；这时问题转化为存量控制问题。在我们的模型中不严格地区分缺货成本和机会成本，而笼统地称计入缺货成本或机会成本的成本为广义成本。
至此，我们分析了有关的一些成本概念并做了适当的假设。在这里我们只是从理论上讨论了这些经济量。关于如何定量这些信息。可以在管理会计方面的文献中找到。
我们现在假设，不可控制成本为常量NC。若从事商品k的生产（购销）活动存在（Xk》0），则专属固定成本为常量SFCk。否则（Xk=0），专属固定成本为零。若n=1，则无联合固定成本。若n32；则联合固定成本为零的充要条件是X=（X1，X2，…，Xn ）T=0。若X10，则联合固定成本为常量JFC。这n种产品（商品）的联合固定成本和不可控成本的分摊权系数为l1，l2；…，ln ；且满足： 。单位变动成本为常量UVCk，单位缺货成本为常量USCk。下面我们将基于上述假设来构造模型。由于假设非常清楚，故仅将构造的模型罗列于下：
（1）固定成本方面
商品k的固定成本FCk（X）：
商品k的单位固定成本UFCk（Xk）：
UFCk（Xk）=＇lk（NC＋JFC）＋SFCk＇/Xk
总固定成本FC（X）：
（2）变动成本方面
商品k的变动成本VCk（Xk）：
VCk（Xk）=UVCk·Xk
总变动成本VC（X）：
（3）成本方面
商品k的成本Ck（X）：
Ck（X）=FCk（X）＋VCk（X）
=lk＇NC＋JFC·Sign（XTX）＇＋SFCkSign（Xk）＋UVCk·Xk
单位成本UCk（Xk）：
UCk（Xk）=UFCk（Xk）＋UVCk
=＇lk（NC＋JFC）＋SFCk＇/Xk＋UVCk
总成本C（X）：
（4）缺货成本方面
缺货成本SCk（Xk，xk）：
总缺货成本SC（X；x）：
其中随机指标集合J1 （X；x）=｛k｜Xk￡xk，1￡k￡n｝
（5）广义成本方面
广义成本GCk（X； xk）：
其中随机指标集合：
J1 （X；x）=｛k｜Xk ￡ xk；1￡ k ￡n｝
至此我们构造完了主要的成本模型。
§4。3 经济收益与基本模型
衡量经济收益的指标很多，为了在量纲方面有统一的准绳，我们只考虑与货币有关的指标。下面我们就最重要的收益概念进行分析和构模。
我们进行模型化分析的目的是为了实现企业的最终目的。企业的最终目的是利润，离开了利润，企业就失去了生存和发展的条件。所以在市场经济条件下，企业无一不是以利润作为行动的根本准则。一般认为，能提供最高利润的方案无疑被认为是最优方案。
利润指销售收入减去全部成本后得到的收益，利润率则指利润和全部成本之比。这里所说的利润是指净利润。净利润中再扣除税赋则为税后净利润或税后利润。我们知道，如果需考虑税的因素时一般只须在利润�