们也是可以叠加的。即有：
＝＋
这里的问题大大地有。对于前一个式子来说，我们讨论的是平均情况。也就是说，假
如真的有隐函数H的话，那么我们单单考虑Φ时，它其实包含了所有的H的可能分布，得到
的是关于H的平均值。但把具体的H考虑进去后，我们所说的就不是平均情况了！相反，考
虑了H后，按照隐函数理论的精神，就无所谓期望值，而是每次都得到唯一的确定的结果
。关键是，平均值可以相加，并不代表一个个单独的情况都能够相加！
我们这样打比方：假设我们扔骰子，骰子可以掷出1…6点，那么我们每扔一个骰子，
平均得到的点数是3。5。这是一个平均数，能够按线性叠加，也就是说，假如我们同时扔
两粒骰子，得到的平均点数可以看成是两次扔一粒骰子所得到的平均数的和，也就是
3。5＋3。5=7点。再通俗一点，假设ABC三个人同时扔骰子，A一次扔两粒，B和C都一次扔一
粒，那么从长远的平均情况来看，A得到的平均点数等于B和C之和。
但冯诺伊曼的假设就变味了。他其实是假定，任何一次我们同时扔两粒骰子，它必定
等于两个人各扔一粒骰子的点数之和！也就是说只要三个人同时扔骰子，不管是哪一次，
A得到的点数必定等于B加C。这可大大未必，当A掷出12点的时候，B和C很可能各只掷出1
点。虽然从平均情况来看A的确等于B加C，但这并非意味着每回合都必须如此！
冯诺伊曼的证明建立在这样一个不牢靠的基础上，自然最终轰然崩溃。终结他的人是
大卫？玻姆（David Bohm），当代最著名的量子力学专家之一。玻姆出生于宾夕法尼亚，他
曾在爱因斯坦和奥本海默的手下学习（事实上，他是奥本海默在伯克利所收的最后一个研
究生），爱因斯坦的理想也深深打动着玻姆，使他决意去追寻一个回到严格的因果律，恢
复宇宙原有秩序的理论。1952年，玻姆复活了德布罗意的导波，成功地创立了一个完整的
隐函数体系。全世界的物理学家都吃惊得说不出话来：冯诺伊曼不是已经把这种可能性彻
底排除掉了吗？现在居然有人举出了一个反例！
奇怪的是，发现冯诺伊曼的错误并不需要太高的数学技巧和洞察能力，但它硬是在20
年的时间里没有引起值得一提的注意。David Mermin挪揄道，真不知道它自发表以来是否
有过任何专家或者学生真正研究过它。贝尔在访谈里毫不客气地说：“你可以这样引用我
的话：冯诺伊曼的证明不仅是错误的，更是愚蠢的！”
看来我们在前进的路上仍然需要保持十二分的小心。
*********
饭后闲话：第五公设
冯诺伊曼栽在了他的第五个假设上，这似乎是冥冥中的天道循环，2000年前，伟大的
欧几里德也曾经在他的第五个公设上小小地绊过一下。
无论怎样形容《几何原本》的伟大也不会显得过分夸张，它所奠定的公理化思想和演
绎体系，直接孕育了现代科学，给它提供了最强大的力量。《几何原本》把几何学的所有
命题推理都建筑在一开头给出的5个公理和5个公设上，用这些最基本的砖石建筑起了一幢
高不可攀的大厦。
对于欧氏所给出的那5个公理和前4个公设（适用于几何学的他称为公设），人们都可以
接受。但对于第五个公设，人们觉得有一些不太满意。这个假设原来的形式比较冗长，人
们常把它改成一个等价的表述方式：“过已知直线外的一个特定的点，能够且只能够作一
条直线与已知直线平行”。长期以来，人们对这个公设的正确性是不怀疑的，但觉得它似
乎太复杂了，也许不应该把它当作一个公理，而能够从别的公理中把它推导出来。但2000
年过去了，竟然没有一个数学家做到这一点（许多时候有人声称他证明了，但他们的证明
都是错的）！
欧几里德本人显然也对这个公设感到不安，相比其他4个公设，第五公设简直复杂到
家了（其他4个公设是：1，可以在任意两点间划一直线。2，可以延长一线段做一直线。3
，圆心和半径决定一个圆。4，所有的直角都相等）。在《几何原本》中，他小心翼翼地尽
量避免使用这一公设，直到没有办法的时候才不得不用它，比如在要证明“任意三角形的
内角和为180度”的时候。
长期的失败使得人们不由地想，难道第五公设是不可证明的？如果我们用反证法，假
设它不成立，那么假如我们导出矛盾，自然就可以反过来证明第五公设本身的正确性。但
如果假设第五公设不成立，结果却导致不出矛盾呢？
俄国数学家罗巴切夫斯基（N。 Lobatchevsky）正是这样做的。他假设第五公设不成立
，也就是说，过直线外一点，可以作一条以上的直线与已知直线平行，并以此为基础进行
推演。结果他得到了一系列稀奇古怪的结果，可是它们却是一个自成体系的系统，它们没
有矛盾，在逻辑上是自洽的！一种不同于欧几里得的几何——非欧几何诞生了！
从不同于第五公设的其他假设出发，我们可以得到和欧几里得原来的版本稍有不同的
一些定理。比如“三角形内角和等于180度”是从第五公设推出来的，假如过一点可以作
一条以上的平行线，那么三角形的内角和便小于180度了。反之，要是过一点无法作已知
直线的平行线，结果就是三角形的内角和大于180度。对于后者来说容易想象的就是球面
，任何看上去平行的直线最终必定交汇。比方说在地球的赤道上所有的经线似乎都互相平
行，但它们最终都在两极点相交。如果你在地球表面画一个三角形，它的内角和会超出
180度，当然，你得画得足够大才测量得到。传说高斯曾经把三座山峰当作三角形的三个
顶点来测量它们的内角和，但似乎没有发现什么，不过他要是在星系间做这样的测量，其
结果就会很明显了：星系的质量造成了空间的明显弯曲。
罗巴切夫斯基假设过一点可以做一条以上的直线与已知直线平行，另一位数学家黎曼
则假设无法作这样的平行线，创立了黎曼非欧几何。他把情况推广到n维中去，彻底奠定
了非欧几何的基础。更重要的是，他的体系被运用到物理中去，并最终孕育了20世纪最杰
出的科学巨构——广义相对论。
第十章 不等式五
castor_v_pollux
玻姆的隐变量理论是德布罗意导波的一个增强版，只不过他把所谓的“导波”换成了
“量子势”（quantum potential）的概念。在他的描述中，电子或者光子始终是一个实实
在在的粒子，不论我们是否观察它，它都具有确定的位置和动量。但是，一个电子除了具
有通常的一些性质，比如电磁势之外，还具有所谓的“量子势”。这其实就是一种类似波
动的东西，它按照薛定谔方程发展，在电子的周围扩散开去。但是，量子势所产生的效应
和它的强度无关，而只和它的形状有关，这使它可以一直延伸到宇宙的尽头，而不发生衰
减。
在玻姆理论里，我们必须把电子想象成这样一种东西：它本质上是一个经典的粒子，
但以它为中心发散出一种势场，这种势弥漫在整个宇宙中，使它每时每刻都对周围的环境
了如指掌。当一个电子向一个双缝进发时，它的量子势会在它到达之前便感应到双缝的存
在，从而指导它按照标准的干涉模式行动。如果我们试图关闭一条狭缝，无处不在的量子
势便会感应到这一变化，从而引导电子改变它的行为模式。特别地，如果你试图去测量一
个电子的具体位置的话，你的测量仪器将首先与它的量子势发生作用，这将使电子本身发
生微妙的变化，这种变化是不可预测的，因为主宰它们的是一些“隐变量”，你无法直接
探测到它们。
玻姆用的数学手法十分高超，他的体系的确基本做到了传统的量子力学所能做到的一
切！但是，让我们感到不舒服的是，这样一个隐变量理论始终似乎显得有些多余。量子力
学从世纪初一路走来，诸位物理大师为它打造了金光闪闪的基本数学形式。它是如此漂亮
而简洁，在实际中又是如此管用，以致于我们觉得除非绝对必要，似乎没有理由给它强迫
加上笨重而丑陋的附加假设。玻姆的隐函数理论复杂繁琐又难以服众，他假设一个电子具
有确定的轨迹，却又规定因为隐变量的扰动关系，我们绝对观察不到这样的轨迹！这无疑
违反了奥卡姆剃刀原则：存在却绝对观测不到，这和不存在又有何分别呢？难道，我们为
了这个世界的实在性，就非要放弃物理原理的优美、明晰和简洁吗？这连爱因斯坦本人都
会反对，他对科学美有着比任何人都要深的向往和眷恋。事实上，爱因斯坦，甚至德布罗
意生前都没有对玻姆的理论表示过积极的认同。
更不可原谅的是，玻姆在不惜一切代价地地恢复了世界的实在性和决定性之后，却放
弃了另一样同等重要的东西：定域性（Locality）。定域性指的是，在某段时间里，所有的
因果关系都必须维持在一个特定的区域内，而不能超越时空来瞬间地作用和传播。简单来
说，就是指不能有超距作用的因果关系，任何信息都必须以光速这个上限而发送，这也就
是相对论的精神！但是在玻姆那里，他的量子势可以瞬间把它的触角伸到宇宙的尽头，一
旦在某地发生什么，其信息立刻便传达到每一个电子耳边。如果玻姆的理论成立的话，超
光速的通讯在宇宙中简直就是无处不在，爱因斯坦不会容忍这一切的！
但是，玻姆他的确打破了因为冯诺伊曼的错误而造成的坚冰，至少给隐变量从荆棘中
艰难地开辟出了一条道路。不管怎么样，隐变量理论在原则上毕竟是可能的，那么，我们
是不是至少还保有一线希望，可以发展出一个完美的隐变量理论，使得我们在将来的某一
天得以同时拥有一个确定、实在，而又拥有定域性的温暖世界呢？这样一个世界，不就是
爱因斯坦的终极梦想吗？
1928年7月28日，距离量子论最精彩的华章——不确定性原理的谱写已经过去一年有
余。在这一天，约翰？斯图尔特？贝尔（John Stewart Bell）出生在北爱尔兰的首府贝尔法
斯特。小贝尔在孩提时代就表现出了过人的聪明才智，他在11岁上向母亲立志，要成为一
名科学家。16岁时贝尔因为尚不够年龄入读大学，先到贝尔法斯特女王大学的实验室当了
一年的实习工，然而他的才华已经深深感染了那里的教授和员工。一年后他顺理成章地进
入女王大学攻读物理，虽然主修的是实验物理，但他同时也对理论物理表现出非凡的兴趣
。特别是方兴未艾的量子论，它展现出的深刻的哲学内涵令贝尔相当沉迷。
贝尔在大学的时候，量子论大厦主体部分的建设已经尘埃落定，基本的理论框架已经
由海森堡和薛定谔所打造完毕，而玻尔已经为它作出了哲学上最意味深长的诠释。20世纪
物理史上最激动人心的那些年代已经逝去，没能参予其间当然是一件遗憾的事，但也许正
是因为这样，人们得以稍稍冷静下来，不致于为了那伟大的事业而过于热血沸腾，身不由
己地便拜倒在尼尔斯？玻尔那几乎不可抗拒的个人魔力之下。贝尔不无吃惊地发现，自己
并不同意老师和教科书上对于量子论的正统解释。海森堡的不确定性原理——它听上去是
如此具有主观的味道，实在不讨人喜欢。贝尔想要的是一个确定的，客观的物理理论，他
把自己描述为一个爱因斯坦的忠实追随者。
毕业以后，贝尔先是进入英国原子能研究所（AERE）工作，后来转去了欧洲粒子中心
（CERN）。他的主要工作集中在加速器和粒子物理领域方面，但他仍然保持着对量子物理的
浓厚兴趣，在业余时间里密切关注着它的发展。1952年玻姆理论问世，这使贝尔感到相当
兴奋。他为隐变量理论的想法所着迷，认为它恢复了实在论和决定论，无疑迈出了通向那
个终极梦想的第一步。这个终极梦想，也就是我们一直提到的，使世界重新回到客观独立
，优雅确定，严格遵守因果关系的轨道上来。贝尔觉得，隐变量理论正是爱因斯坦所要求
的东西，可以完成对量子力学的完备化。然而这或许是贝尔的一厢情愿，因为极为讽刺的
是，甚至爱因斯坦本人都不认同玻姆！
不管怎么样，贝尔准备仔细地考察一下，对于德布罗意和玻姆的想法是否能够有实际
的反驳，也就是说，是否真如他们所宣称的那样，对于所有的量子现象我们都可以抛弃不
确定性，而改用某种实在论来描述。1963年，贝尔在日内瓦遇到了约克教授，两人对此进
行了深入的讨论，贝尔逐渐形成了他的想法。假如我们的宇宙真的是如爱因斯坦所梦想的
那样，它应当具有怎样的性质呢？要探讨这一点，我们必须重拾起爱因斯坦昔日与玻尔论
战时所提到的一个思想实验——EPR佯谬。
要是你已经忘记了EPR是个什么东西，可以先复习一下我们史话的8…4。我们所描述的
实际上是经过玻姆简化过的EPR版本，不过它们在本质上是一样的。现在让我们重做EPR实
验：一个母粒子分裂成向相反方向飞开去的两个小粒子A和B，它们理论上具有相反的自旋
方向，但在没有观察之前，照量子派的讲法，它们的自旋是处在不确定的叠加态中的，而
爱因斯坦则坚持，从分离的那一刻起，A和B的状态就都是确定了的。
我们用一个矢量来表示自旋方向，现在甲�
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