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毕达哥拉斯和他的学派放弃了单一元素的观念。他们以为物质是由土、水、气、火四者组成，而这四者又由冷、热、湿、燥四种基本物性两两组合而成，例如水是冷与温的组合，火是热与燥的组合。他们推进了几何学这一演绎科学，并且按照逻辑顺序建立了某种体系，同欧几里得几何学前两册相仿。欧几里得几何学第一册的第四十七命题现在还称为毕达哥拉斯定理。划直角的“绳则”也许早已在埃及和印度凭经验发现了，但是，很可能到毕达哥拉斯，才第一次用演绎的方法证明直角三角形斜边的平方等于他两边平方之和。
最早把数的抽象观念提高到突出地位的也是毕达哥拉斯派。我们今天都很熟悉数的观念，我们习惯于同抽象的三或五打交道，不管手指也好，苹果也好，或日子也好；因此，我们难于认识到当人们第一次看出几组不同事物的本质属性五的时候，这在实用数学和哲学方面是怎样一个巨大的进步。在实用数学方面，这个发现使算术成为可能；在哲学方面，这个发现促使人们相信数是实在世界的基础。亚里斯多德说；“毕达哥拉斯派似乎认为数就是存在由之构成的原则，可以说，就是存在由之构成的物质。”这种把确定的、不可分割的单位看做是基本实体的观念，同毕达哥拉斯派另一伟大发现，即有一些量没有公约数的发现（参看第十二章），似乎是不相符合的，但是，毕达哥拉斯派用声音进行的实验又大大加强了这种观念。毕达哥拉斯派证明，用三条弦发出某一个乐音以及它的第五度音和它的第八度音时，这三条弦的长度2比为6：4：3。他们企图在这种比例数体系基础上，来建立关于宇宙的理论。他们认为这些成比例的数就代表不可分割的空间单位。他们还认为，各行星与地球的距离一定符合于音乐的进行，从而奏出“天体的音乐”。十是完美的数字（因为10＝1＋2＋3＋4），因此，天上的运动的发光体必然也有十个。但是，由于只可以看见九个，他们就断言必定还有一个看不见的“对地星”。后来，亚里斯多德就十分正确地批评过这种抹杀事实的戏法。
不过，毕达哥拉斯派在天体演化学说方面的确取得很大的进步。在这方面，我们的材料主要是从在五世纪中叶写作的菲洛劳斯（Philolaus）的著作中得来的。他们承认地球是一个球体，并且终于认识到，如果假定地球在运动，就可以解释、而且可以更简单地解释天体的视运动。他们认为地球在转动，但并不是绕着自己的轴心转动，而是绕着空间中固定的一点转动，与“对地星”相平衡，正象系于绳的一端的石块一样转动；因此，地球要把有人居住的表面顺次呈现于周围的天空的每一部分面前。在这个固定点上有一个中央火，这是宇宙的祭坛，是人永远也看不见的。这一观念后来使人误以为毕达哥拉斯派已经创立了太阳中心的宇宙说，从而走在阿利斯塔克和哥白尼前面。
从他们关于数的理论中可以清楚看出的神秘的自然观，也表现在毕达哥拉斯关于对立的原则——爱与憎，善与恶，光明与黑暗——的根本重要性的看法上。这个看法常常在希腊思想中出现。这个看法以为有关事物的事实可以从词的意义中推出来。这个神秘的观点还出现在阿尔克莽（Alcmaeon）医生的著作里。他以为，人是一个小宇宙，是大宇宙的缩影；人体是世界构造的反映，人的灵魂是数的和谐。毕达哥拉斯学派持有一种形式哲学，而爱奥尼亚派则持有一种物质哲学。五世纪初，这个学派就分裂了；一派变成一个宗教性的兄弟会，另一派循着准科学的途径提出了关于数的理论。
毕达哥拉斯派哲学的本质，包括终极的实在应该到数及其关系中去寻找的理论，将在本书叙述柏拉图的理念理论到新柏拉图主义者和圣奥古斯丁的章节中再加论述。在圣奥古斯丁的影响下，这个学派的哲学帮助形成了中古时代思想的柏拉图主义背景，即导源于亚里斯多德的经院哲学体系以外的另一哲学体系。就是在经院哲学中，毕达哥拉斯派关于几何学、算术、音乐和天文学中的数的秩序的观念，也使得这四种学科成为中古时代的课程。文艺复兴以后，哥白尼和刻卜勒再次提出关于数的重要性的见解。他们所强调的主要是太阳中心说的数学上的和谐和简单性，认为这就是太阳中心说所以是真理的最好证据。在我们的时代，阿斯顿（Aston）的原子整量说，莫斯利（Moseley）的原子序数说，普兰克的量子说以及爱因斯坦关于万有引力等物理事实不过是局部的时空特性的表现的说法，都是毕达哥拉斯派哲学的一些见解的复活，只不过在毕达哥拉斯派的哲学中，这些见解比较古老、比较粗糙而已。
物质问题
如果天文现象比较显著，因而首先引起人们的注意的话，物质本性问题也同样地要求有思考力的人们加以解释。化学的起源应该到和人类一样历史悠久的技术，尤其是火的发现和使用中去寻找。烹任、葡萄汁的发酵，金属的冶炼，石器的制造，都是史前期的成就。埃及人在染色，淬铁，玻璃和珐琅制造，以及用金属化合物来制造染媒，颜料，脂粉等技术方面，都相当高明，早在公元前1500年，泰尔（Tyre）的人民已经能用介贝制造有名的泰尔紫色颜料。
象在几何学中一样，在物质问题上，首先提出理论的似乎也是希腊人。他们认为机械技术是低贱的。他们对于机械技术中所必然包含的大量知识，不加理会，而只在每一个希腊上等人可以看出的问题上进行推理。我们知道，爱奥尼亚的哲学家以为物质的变化是从土与水开始，经过动植物的躯干和枝茎，再回到土与水。他们开始认识到物质不灭的观念。从泰勒斯起，尽管物体在麦面上有明显的差别，他们仍然推想到可能有单一的“元素”，即水、空气或火，是万物的共同基础。
公元前五世纪初，哲学界展开了争论，双方都对爱奥尼亚人和毕达哥拉斯派加以抨击。参加争论的人都表现了希腊人的一个特色，那就是喜欢根据第一原则来建立理论，并且就现象提出一些武断的判断。
诗人兼哲学家赫拉克利特（Heraclitus，公元前502年左右）对阿那克西曼德和阿那克西米尼的唯物主义的倾向，表示轻蔑。在他看来，以太火才是基本元素或实在，这是一种灵魂材料，一切都用它造成，也都要回到它那里去。在这个世界中，对立面——如睡与醒，死与生——不断的交替就构成了这个永不熄灭的火的永不停止的节奏。万物都在有秩序地运动，一切都处在流动——xavTaoEi——的状态中。真理只能在内心中找到，它是普遍的逻各斯（Logos）或理性的反映。
意大利南部埃利亚的哲学家也先验地（a Priori）达到了另一类型的批判哲学。他们的领袖是活跃于公元前480年左右的巴门尼德（Parmenides）。
巴门尼德为人的心灵的活动所迷，把希腊人所特有的一项假定推到极端。这个假定就是，凡不能设想的就都是不可能的，即令感官告诉我们它的确发生了。他的论证是这样的：创造是不可能的，因为不可能设想可以从无中产生有，可以由非存在中产生存在，事实上，就不可能有非存在这种东西。反过来说，毁灭也是不可能的，因为有不可能化为无。连变化也是不可能的，因为一物不可能从本质上和它不同的另一物中产生。这样，我们在自然界看见的或自以为看见的变化的假象，多样性和多重性的假象，时间和空间的假象，都不过是感官的错误印象，而由思维证明是目相矛盾的。因此，感官不能发现真理，只有思维才能发现真理。感官知觉是作实在的，是非存在；只有思维才是实在的，是真存在。换句话说，要接触到实在，我们必须除去一切形体上的差异，只留下一个单一的、划一的本质。这才是唯一的实在，这个实在是永恒的和不变化的，只受自身的限制，而又均匀地延伸，因而是球形的。在肉眼可见的现象界，非实在的、但仍为人观察到的宇宙是一连串由火与土组成的同心壳；虽然这一切只是“意见”，而不一定是“真理”。
这些见解当中的一部分见解由埃利亚的芝诺（Zeno）加以发挥。芝诺和巴门尼德同时代，但比较年轻。他反对毕达哥拉斯派关于万物都由整数组成的理论，并且认为他已经用他的一连串著名的疑难问题证明，倍数性是不足为训的。一个倍数必然能分割到无穷，因此，自身必须是无穷的，但是，在还原的时候，不论有多少无穷小的部分都不能构成一个有穷的整数。跑得很快的阿基里斯（Achilles）要赶上乌龟，阿基里斯到达乌龟动身的地方，乌龟已经走到前面一个地方；阿基里斯到达那个地方，乌龟已移到更远的地方——如此永久继续，以至无穷，阿基里斯永远赶不上乌龟。
巴门尼德所争辩的焦点似乎在于词所偶然获得的意义，这种意义永远是任意的，并且常常在变化中；芝诺的疑难问题的基础却是一些关于无穷小的性质及时间和空间的关系的错误观念，这些错误观念已经为现代数学所澄清。但是，乏诺的确证明，如果以为事物可以无限制地分割为当时所理解的无穷小的单位，那么，这种观念是同经验不符的。只是到十九世纪把彼此不相等的不同种类的无穷数区别开来以后，才能把这种不符完全解决。
尽管这样，埃利亚的哲学在两个方面对我们仍然是很重要的。第一，它不信任感官，因而帮助了原子论者到感官所不能觉察的东西中去寻找实在，并且把后世所谓物体的第二性的质或可以分出的质，如热或色彩，解释做只不过是感官知觉。第二，他们力图寻找代表万物中的基本实在的单一统一，一方面帮助了物理学家寻找单一的化学元素，另一方面也帮助了哲学家，把本质（Ovoia）同质或偶有性（xaOn）分开。这个对物质本性的见解经亚里斯多德加以最后阐释以后，一直支配着中古时代的思想。
阿那克萨哥拉（Anaxagoras）是另一位爱奥尼亚哲学家，约在公元前500年出生于士麦拿（Smyrna）附近，四十年后，把爱奥尼亚的比较富于唯物主义色彩的哲学见解带到雅典。在阿那克萨哥拉看来，物质是一群不同的实体的集合物，每一实体都具有不同的质或偶有性，如感官所感到的。不管怎样分割，各部分所包含的东西总是和全体相似，不过可能由于成分比例不同而有所不同。运动最初是由智慧（vous，“奴斯”）发动的。这是一种精微的流体，可以引起旋转，旋转扩散开来，就造成世界，并使它具有秩序。天体是和地球性质一样的物质；太阳并不是日神，而是燃烧着的石头；月球中有山与谷。除了这些见解外，阿那克萨哥拉在精确知识方面也取得一些真正的进步。他对动物进行解剖，对大脑的解剖学有一些认识，并且发现鱼是用鳃呼吸的。
我们在著名的四种元素假说中还可以找到另外一些关于物质的见解。这个假说是毕达哥拉斯派所持有的，西西里的哲学家恩培多克勒（Empedocles，公元前450年）对这个假说作了更明确的阐述。他认为物质的“根源”或“元素”是土、水、气和火——一种固体、一种液体、一种气体、一种比气体更稀薄的物质。这四种元素在整个宇宙中，受到两个对立的神力的影响，以各种不同的比例结合起来；所谓两个对立的神力，一是相引力，一是相斥力，即平常的眼睛可以看见在人们身上起作用的爱与憎。这个见解同毕达哥拉斯的观念颇为相似。由于这四种元素的不同的结合，就形成了所有形形色色类型的物质，正象画家用四种颜料配成各种深浅的色彩一样。
巴门尼德过去就断定，人们以为他们在空气中可以觉察到一种空无所有的虚空，其实在空气中并不存在这种空无所有的虚空。阿耶克萨哥拉和恩培多克勒证明空气是有质体的，恩培多克勒并且利用水钟作试验，证明只有空气逸出之后，水才能进入一个瓶中。这个发现证明空气既不是空无所有的空间，也不是水汽。
万物皆由四种元素组成的观念似乎是由于对火的作用的自然的误解而产生的。当时，人们以为，一个东西燃烧后，必然要还原为它的几种要素；可燃烧的物质都是复杂的，把它烧完后所留下少量的灰烬则是简单的。例如，青绿的木材燃烧时，由光可见其火，其烟则散入空气中，水由木柴的两端沸腾而出，而灰烬则具有土的性质。
后来，还出现过一些别的学说，都是建立在对火的这种看法的基础之上的。这种对火的看法是化学上第一个伟大的指导原则。马什（Marsh）说：“火的学说有：希腊的四元素说，炼金术的金属成分说，医药化学的沉淀原质说，及燃素说”，这后一学说是在十八世纪提出来的。这些学说的兴起和衰落，我们将在本书后面几章中加以阐述。
原子论者
恩培多克勒认为，设想四种元素以不同的比例相结合，便可以解释人类所知的种类无穷的不同物质。留基伯和德谟克利特把问题更加简化。他们把另一更古老的单一元素假说发展成为一种原子说。
希腊人的原子说所依据的基础，同道尔顿、阿伏伽德罗（Avo－gadro）和坎尼查罗（Cannizzaro）提出今天的原子说和分子说时所知道的明确的实验事实大不相同。现代化学家对于各种化学元素结合时在重量上和体积上的比例，都有精确的定量计度。这些有限的和确定的事实使人们不能不形成原子的观念和分子的观念，并且断定原子和分子都具有相对的原子量和分子量。人们发现，这样形成的学说，同构成科学的共同遗产的许多其他孤立的或相互关联的事实和关系，都是相符的，也得到别的连续的经验的证明，并且可以当作一个有用的指针，来研究，甚至预测新的现象。虽然象一切其他科学概括一样，它也有其哲学意义，�