畹募》段е冢诙奔涫窍嗟鹊摹Ｕ庋６倬鸵愿蟮木范戎な盗酥亓坑胫柿砍烧鹊慕峁飧鼋峁纠词强捎少だ缘氖笛橥瞥隼吹摹�
数学方面的改进
把数理力学应用于天文问题的一个直接结果，便是需要改进研究中所用的工具——数学。因为这个缘故，刻卜勒、伽利略、惠更斯、牛顿诸人工作的时代，也就是数学知识与技术进步很大的时代。
牛顿与莱布尼茨以不同的形式发明了微分学。发明的先后，后来虽有争执，但看来都是独立发明出来的。变速观念的出现，要求有一种方法来处置变量的变化率。一个不变的速度可以用在时间t所经过的空间S来量度；不论s与t的大小如何，s/t一量是一定的。但是如果速度是变化的，那么要找某一瞬间的速度值，只能就一个差不多觉察不出速度变化的极短的时间来量度在这个时间内经过的空间。当s与t无限地缩小，而成为无限小时，它们的商数即是那一瞬间的速度，莱布尼茨把这一速度写成ds／dt，而叫做s对于t的微分系数。牛顿在他的流数法里，把这个数量写作s，这个写法用来不大方便，现在已被莱布尼茨的写法代替了。我们在这里不过是拿空间与时间来做例子罢了。其实任何两个量，只要是彼此依赖，都可用同样的方法来处理。x对于y的变化率都可写作莱布尼茨的记法dx／dy或牛顿的记法x。
逆转的计算，即微分的总和，或从变率去计算变量本身的方法，叫做积分，常常是比较困难的工作。在研究某些问题时，如牛顿要从球体中亿万个质点的引力去计算整个球体的引力，就得用积分法。阿基米得用了类似的方法去计算面积与容积，但他的方法由于远远超过了他那时代，所以后来就失传了。
含有微分系数的方程式叫做微分方程式。很多物理的问题都可表达为微分方程式；困难通常在于求它们的积分，从而求出它们的解答。有一个事实说明牛顿了解这个原理：他算出了一张数字表，来表达光线在大气中的折射，而所用的方法则无异于列出光线路径的微分方程式。
在《原理》中，牛顿把他的结果改成欧几里得几何学的形式，其中许多结果可能是通过笛卡尔坐标与流数法求得的。微分学迟迟才为人知道；但在莱布尼茨和别尔努利（Bernouilli）所赋予的形式中，微分学却是现代纯数学和应用数学的基础。
牛顿在数学的许多别的分支中也有不少贡献。他确立了二项式定理，提出了很多方程式理论，而且开始使用字母符号。在数理物理学中，除了已经叙述过的动力学和天文学外，他还创立了月球运行的理论，算出了月球位置表，由这个表可以预测月球在恒星间的位置。这一工作成果对于航海有无上价值。他创立了流体动力学，包括波的传播理论，且对流体静力学作了很多的改进。
物理光学与光的理论
单凭他在光学上的成就，牛顿就已经可以成为科学上的头等人物。光的折射定律，即入射角与折射角的正弦之比为一常数，是斯内耳在1621年所发现的。费马则指出，按这条路径前进，通过时间最短。1666年牛顿得到“一个三棱镜来实验有名的色彩现象”，而且他选择了光学来做他讲课和研究的第一个题目。他的第一篇科学论文也是讲的光学，1672年发表在《皇家学会哲学杂志》上。德·拉·普敕姆（De la Pryme）在他的日记中说：1692年牛顿往礼拜堂时，忘记了熄灯。这引起了一场火灾，把他的著作都焚毁了，二十年的光学研究成果也在其中。但牛顿在他的书的序言中却没有提及这仲事。他说：“1675年应皇家学会某些会员的请求，写了一篇关于光学的论文，……其余则是大约十二年后加入的。”
1611年，斯帕拉特罗的大主教安托尼沃·德·多米尼斯（Auto－nio de Dominis）提出一种虹霓的理论。他说由水滴内层表面反射出来的光，因经过厚薄不同的水层，而显出色彩。笛卡尔提出一个更好的解释。他认为色彩和折射率有关，并且成功地算出虹霓弯折的角度。马尔西（Marci）使白光透过棱镜，并发现有色彩的光线不再为第二棱镜所散射。牛顿把这些实验加以扩大，并且把有色光线综合成白光，从而澄清了这个问题。他还认为望远镜里妨碍视线的各种色彩也是由于类似原因而产生的，并且错误地断定，要阻止白光分散成各种色彩就必然要在同时阻止放大率所必需的折射；因而他认为要改进当时的折射望远镜是不可能的，于是他发明了反射望远镜。
其次，他还考察了胡克描写过的肥皂泡和其他薄膜上都有的薄膜的色彩。他把一个玻璃三棱镜压在一个已知曲率的透镜上，颜色就形成圆圈，后来被人叫做“牛顿环”。牛顿仔细地测量了这些环圈，并把它们一点一点地和空气层厚度的估计数比较。他又用单色光重复了这个试验，这时只有光环与暗环交错出现。牛顿断定每一确定颜色的光都是痉挛似地时而容易透射，时而容易反射。如果在反射光下去看白色光所成的环，某一在一定厚度下恰好透射过去的颜色便不会反射到眼里，于是眼所看见的便是白色光减去这一颜色的光，换言之即看见一种复色光。牛顿于是推断：自然物的颜色至少有一部分是由于它们的微细结构的缘故，他并且算出产生这种效果所必需的大小。
格里马耳迪（Grimaldi）的实验，证明极窄狭的光束平常虽走直线，但遇到障碍时就沿障碍物的边角而弯曲，所以物影比其应有的形式为大，因而形成了有颜色的边沿。牛顿重复并扩大了格里马耳迪的实验。牛顿证明让光线通过两个刀口之间的狭缝，弯曲度就更大了。他对狭缝的宽窄和偏转的角度都进行了仔细的观察与测量。
牛顿还考察了惠更斯所发现的光线通过冰洲石所生的异乎寻常的折射现象。在这种矿石里，一条入射光产生了两条折射光；在把这两条光线的一条分离出来，使它再通过另一冰洲石时，如果第二个冰洲石的结晶输与第一个的轴平行，这条光线仍能通过，如果两个冰洲石的轴恰成正交，这条光线便不能通过。牛顿看出这些事实说明不管一条光线怎样，它不能是对称的，而必然在不同的方面有一些不同。这就是偏振理论的要点。
除了这些现象之外，在考虑光的性质时，还有一个事实也需要估计在内。1676年，勒麦（Roemer）观察到当地球行到太阳与木星之间时，木星的卫星的掩食比平常约早七、八分钟，反之，若地球在太阳另一面时，木卫的掩食，则常迟六、八分钟。在后一情形下，木卫的光线须行过地球的轨道，即比前一情形的距离长些。观测所得的差异说明光的传播需要时间，而不是一发即到。
牛顿说他本来还打算进行一些光学实验，但由于办不到，所以他对于光的性质也就没有得出明确结论，只提出一些问题让别人去探讨与解答。他的最后意见，似乎总结在第29问题中：
光线是不是发光体射出的极小物体？因为这样的小物体可以直线地经过均匀的介质，而不弯曲到阴影中去。这正是光线的本性……。如果折射是由于光线的吸引力形成的，则入射角的正弦必定与折射角的正弦成一定的比例。
根据光的微粒说，很容易说明这个“一定的比例”必定可以量度光线在密的介质中的速度和在稀的介质中的速度的比例。牛顿继续说：
更使光线时而容易反射，时而容易透射，只需要它们是一些小物体，这些小物体靠了它们的吸引力或某种别的力量，在它们作用的物体中激起颤动，这些颤动比原来的光线更要迅速，于是次第赶上它们，并且搅动它们，仿佛轮流地增加或减少它们的速度，因而使它们具有那种特性。最后，关于冰洲石的反常折射，看来那很象是隐藏在光和冰洲石晶体质点的某几边的某种吸引力造成的。
把光线看做是射入眼中的微粒的观念，可以追溯到毕达哥拉斯派。恩培多克勒与柏拉图则认为眼里也射出一些东西。这种触须式的理论也为伊壁鸠鲁和卢克莱修所持有。他们有一种混乱的观念，以为眼看物与手以棍触物有些相同。亚里斯多德反对这看法。主张光是介质中的一种作用（）。所有这些都不过是精度，无论对与不对，同样是无价值的。不过，在十一世纪，阿耳哈曾（Alhazen）却举出一些明确的证据，说明视象的原因在于对象，而不是来自眼中，可是在他的时代以后很久，还时常有触须式的见解出现。
笛卡尔认为光是一种压力，在充满物质的空间内传播。胡克说光是介质中的迅速颤动。这个波动说经惠更斯加以相当详细的发挥。他用几何学的作图法（图4），描绘了折射的过程。当光的一个波阵面（AC）由空气投到水面（AB）之时，水面上每一点就都成为一个反射到空气中去的小圆波，和散布到水里去的另一个小圆波的中心。如果把水面每一点的小圆波依次绘出，它们将相交而成新的波阵面，一在空气中，一在水里面（DB）。在这些波阵面，而且只有在这里，这些小波会彼此增强，而产生可感觉到的效果。这样形成的波阵面与我们所知的反射和折射定律都很相合。如果光的速度在水中比在空气中小（这假设与徽粒说所需要的恰好相反），则在某一瞬间，水中小波的半径将比空气中小波的半径小，所以折射的光线将更接近于法线，这正是自然界里所发生的现象。
波动说的主要困难，在于说明清晰阴影的存在，即在解释光的直线传播。平常的波能绕过障碍物，不表现这种性质。一百年后弗雷内尔（Fresnel）解决了这个困难。他证明光的波长比所遇的障碍物的体积小得异常之多，所以光波和平常的波不同。但在牛顿看来，光的直线路径似需要微粒说才能解释。
在上面所引的一节中，牛顿觉得要解释光的周期性，须得想象有一种比光更速的颤动。在以前的问题中，他明白地想象有一种以太担任别的类似的次要任务。例如，他在问题第18里说：
如果在两个大而高的倒置玻璃圆筒里，悬上两个小温度计，不要让它们和圆筒相接触，然后把一个圆筒里的空气抽去，再把这两个圆筒由冷的地方搬到热的地方；在真空中的温度计将与在非真空中的一样变热，而且差不多一样的快。再把这些圆筒搬回冷的地方时，真空中的温度计与其他一个差不多一样快的变冷。暖室里的热是不是借一种比空气还要微妙的介质的颤动，在真空中传达呢？这种微妙的介质，是空气抽出后仍然存在在真空中的。这种介质是不是就是光折射和反射所凭借的媒介呢？光是不是就靠了这种介质的颤动传其热于物体，并且变得时而容易反射和时而容易透射呢？是不是热体中这种介质的颤动，帮助热体维持其热的强度与期间呢？热体传其热于附近的冷体时，是不是靠了从热体中传播到冷体中去的这种介质的颤动呢？这种介质是不是比空气还要稀薄与微妙万分，还要有弹性和活泼万分呢？它是不是很容易渗透到一切物体中去呢？它是不是（由于富有弹性）弥漫于一切天体中呢？
牛顿接着表示：光的折射是由于这种介质在不同物体中有不同的密度的缘故；它在重物体中比较稀薄，在太阳和行星体内比在自由空间格外稀薄，而在自由空间中，离物质愈远这介质就愈浓密。他想这样去解释万有引力，去解释微粒说所需要的光在密的介质中的较大的速度。障碍物边缘的衍射是物质对表面以外的以太的影响所造成的一种折射。所以在牛顿看来，以太是光和可称量的物质之间的一种中间物。但是我们不要忘记，这些见解不过是牛顿书中正文以外提出的一些疑问。牛顿明白地指出进一步的实验是必需的，而他提出这些问题，是请旁人解答。有人抱怨说人们所以迟迟不接受光的波动说是由于牛顿的权威的缘故，但这种抱怨只有对于那些认为他的疑问里已经包含了解答的人，才适用。
读者当会看出，如果光在空气中和水中的速度可以测量出来或加以比较的话，就可以进行一次决定性的实验，来判断这两个学说孰是孰非。1850年左右，弗科（Foucault）根据直接观测，第一次进行了这种实验。光的速度在水中较小，合于波动说的需要。
但近年来在阴极线中和放射物过程中发现了运动迅速的质点或电子。这说明和牛顿所想象的质点很相似的质点现时已可观察得到。事实上，牛顿理论的最可注意之点，是它和十分现代的观念相似，因为在牛顿看来与普兰克和J．J．汤姆生看来一样，‘优的结构基本上是原子的”，薛定谔等人还必须想象有一种由质点和波动组成的复合体，这同牛顿的想法更是依稀仿佛。当我们想到这些发现以及许多别的发现不过是一位青年人的成就，这个人后来做了造币局长，把他的晚年时间用于实际铸钱工作，又把他的闲暇消耗在思辨的神学著作上的时候，我们不禁对于他的心灵惊叹不置，象古代德谟克利特一样，他真可算是人类中杰出的天才。
化学
前章所叙述的化学与医学的结合，直到十七世纪之末仍然统治着这两种学科。医药化学家逐渐把化学从依附于炼金术的不名誉的状态中解放出来，纳入职业研究的范围中去。已知的元素和化学反应的数目大大增加，从而奠定了提高化学理论的基础。
我们讲过波义耳怎样在他的《怀疑的化学家》一书中，反驳“火的理论”的残余——一方面是亚里斯多德的四元素，另一方面是当时流行的化学理论，主张盐、硫、汞是三个主要原质。他的《怀疑的化学家》一书是化学走向现代观点的转捩点。
牛顿在他的房间后面，剑桥大学大门口与三一学院礼拜堂之间的花园里，设立了一个实验室。他无疑是在这里进行他的光学和其他物理学学术的实验的，但他也研究了化学。他的族人和助手汉弗莱·牛顿（H