数学课对于进行完满的智育能够提供特别广阔的可能性。在完成数学方面的独立工作的过程中，进行着细致而耐心的教育工作，这种工作可以说是对于少年的自我肯定的指导。在五年级的教学工作开始以前，我向教师们介绍了我在数学课和数学课外活动中进行智育方面取得了哪些成绩。孩子们学会了以整体的方式（即不进行数的运算）来解答应用题。他们理解题意，学习把一道应用题看成一个完整的统一体，找出其中的相互联系和相互依存性。我用一些专门的课时让学生去议论应用题的条件。孩子们出声地讲出他们的思路，例如：应当把第一个数和第二个数的和乘以2，然后从乘积中减去第三个数，就能得出所求的未知数。在儿童没有学会以这种整体的方式解答应用题以前，是根本谈不上让他们顺利地学习数学的。我开始逐渐地引进字母符号来代替数字，于是对应用题的议论就变得更有趣了。我们由数字的公式过渡到字母符号的公式。在四年级的学年中期的时候，发生了一个理解力最差、思考过程最慢的女孩子华里娅在脑力劳动中豁然开朗的事情。我开始觉察到：在对应用题进行个人思考的时候，这个女孩子的眼神里闪耀着一种钻研地思考的光芒。华里亚终于能够完全独立地分析各个数量之间的依存关系，学会了以整体方式解应用题。这一点成了她的自我肯定过程中最重要的环节之一。对华里娅来说，达到这个程度很不容易。她的智力积极性的“起飞”，是经过一个漫长的消极性时期换来的。过去总好像有什么内在的原因妨碍着她的思考。我相信，在不久的将来，这个女孩子的智力发展过程一定会更快地开展起来。
这种信心终于实现了。数学教师继续进行在低年级已经开始的教育工作：把独立解题作为学生脑力劳动的基本形式。教师给每一个学生挑选适合于他的应用题。不催促学生，不追求解题的数量。让每一个学生都有可能专心致志地思考，深入钻研自己的题目。第一个学生在一节课上解了三道题，第二个学生勉强解了一道题，而第三个学生就连一道题也许还没有做完。过去，华里娅经常是最后解完习题的学生之一，然而她有时也能够顺利地完成作业。到了六年级（12岁至13岁之间），这种偶然的成功已经被稳定的成绩代替了：数学习题集里的每一道应用题，她都能解答得出。我们研究了这个女孩子的学习情况，看出她身上有一些强烈表现的个人思维的特点。华里娅似乎是分阶段来思考和理解各种相互依存关系的实质的：起初她先从思想上把握总的轮廓，把注意力集中在总的轮廓上，然后再转而研究各个细节。我们逐渐地给华里娅出一些极复杂的应用题，她都顺利地解答出来了。到第六学年末，这个女孩子成了班上数学能力最强的学生之一。教师曾经以悉心爱护的态度来对待她的脑力劳动的迟缓性。我们高兴的是，在数学上的成功增强了她的自信心，培养了她的独立思考。现在，对其他学科（包括语法在内）的学习，在她来说也不像以前那么艰难了。
在对脑力劳动的指导中，我们还考虑到少年思维的另一个特点：具体事物跟概括之间的依存性对学生越明显、易懂，学生的主观体验就越深刻：“我在研究真理，我在发现真理，我要使它成为我的精神财富。”正因为如此，我们在考虑课的上法时，就有意识地让少年从具体、直观的客体中看出理论的规律性、依存性、关系、规则、定律等。几何形体的模型、机械模型、动植物的标本、器官的标本——我们制作这些东西并把它们拿到课堂上来，并不是为了单纯地演示一下人们已知的真理。我们应当把具体的物品变成推论和研究的对象。这一点对于头脑迟钝的学生（像彼特里克、尼娜、斯拉瓦等人）是尤其必要的。
我们努力把数学思维的这些特点迁移到所有的课上来。抽象概念在少年期的迅速形成，不仅是智力发展的重要前提，而且是解剖生理发展的重要前提（由此而使脑的思维能力得以增强）。如果不借助抽象概念的形成来发展少年的头脑，他就会好像在智力发展上停滞了：他不能理解理论概括的现实依据，他的语言表达不清，想像贫乏，他的双手不会做出复杂的、精细的劳动动作。我终于明白了：如果一个人在童年时期还能够胜任脑力劳动并且从中感到乐趣，而到了少年时期，学习对他来说却变成了痛苦的负担，那么这正是由于没有借助抽象思维来发展他的头脑所造成的可悲后果。儿童的智力才能到了少年期好像在慢慢地黯淡下来和趋向迟钝，这是令人十分担忧的。
当我明白了忽视思维修养包藏着多么巨大的危险性以后，我就决心：必须把“数学思维”这个概念所包括的那种思维特点，贯彻到所有课堂上的脑力活动中去。任何一个概念、判断、推理、法则，在学生没有理解的时候，都不应当让他们去识记。不理解的识记在童年时期是有害的，而在少年时期则是严重危险的，因为迅猛发育的解剖生理过程正是在这个时期趋于完成的，大脑这个娇嫩的思维物质任何时候也不像这个时期内这样有可塑性，以及对抽象思维的影响这样高度敏感。如果学生在少年时期没有遇到一位明智的脑力劳动的指导者，那么他就再也无法学会真正地思考了。
鉴于以上这些结论，我们努力做到处处用心，使透彻地理解概念在少年的脑力劳动中占有很大的比重。我们根据少年的眼神去注意研究他头脑里正在发生着什么变化。我们力求使概念（它们是思维的一砖一瓦）被学生所领会，成为他们积极的认识活动和获取新知识的工具和手段。
兴趣和注意力的问题在我们的教育工作中占有重要的地位。
多年的观察使我们得出如下结论：如果少年的脑的“情绪区域”长时间地处于兴奋状态，兴趣就会消失，疲劳和漠不关心的态度就会来临。教师的话好像已经不能进入学生的意识，学生听着这些话的声音的外壳，却不能理解它们之间的相互联系。当讲授的内容充塞了过多的新材料，或者教师力求以事实、现象和事件的新奇而使学生感到大为震惊的时候，就会出现上述的情况。一切鲜明的、非同寻常的事物，作为激发学生兴趣的手段来看都是很诱人的，但是如果教师不善于运用，却会转化为它的对立面。
必须十分谨慎地对待激发脑的“情绪区域”的问题。
我们首先是以掌握具体的东西跟抽象的东西的适当比例来激发“情绪区域”的。在普通的、一点也不显眼的事物中，隐含着重要的、有世界观意义的真理，应当用这一点来引起学生的惊奇感。对少年来说，感兴趣的并不是什么特殊的、外加的东西，而是教材的实质本身。我们在引起学生的兴趣以后，就没有必要一直去刺激脑的“情绪区域”了。
能够把少年“拴住”在你的思路上，引着他们通过一个个阶梯走向认识，这是教育技巧的一个重要特征。我们认为，兴趣已经激发起来即目的已经达到的标志，就是课堂上出现一种“灵敏的寂静”的气氛：学生们仔细地倾听着每一句话，你可以逐渐地把声音放低，用不着使用那种专门的演讲式的语调对他们说话（顺便插一句：这种调子会很快引起学生的疲劳），而使用人们之间平常交谈的语调。
经验证明：讲课当中过分地追求激动人心的、鲜明的、形象的东西，会使得少年过度兴奋（喧哗、手舞足蹈），这时教师就不得不提高声音，压倒学生的喧闹声，而这么一来，则使学生更加兴奋。用紧张的、提高声调说出来的话，会使大脑两半球皮层进入某种麻木状态：学生什么也没有听见，这时候教师就非但要大声喊叫，而且有时候还得敲桌子了。在一节课上得到的这种“弹药补给”，会影响好几节课的正常的工作气氛。如果这样的课一节跟一节地上下去，那么少年就处于如此高度兴奋的状态之中，以至他很可能对教师做出无礼的表示，当他回到家里的时候，则感到郁闷、激怒、头疼。这样就根本谈不上从事正常的脑力劳动了。采取很原始的办法来激起学生的兴趣，在这件细致的事情上缺乏教育素养，——这正是使人们感到少年是“最难对付的人群”的严重原因之一。
怎样恰当地激发学生的兴趣的问题，越来越引起我们的重视。我们进行关于课堂教学心理学的谈话，讨论个别学生的心理学和教育学鉴定，交流观察到的情况，力求弄明白这个最重要的问题：当少年在思考的时候，他的头脑里究竟发生着什么变化？我们对于已知的东西跟未知的东西的相互关系问题也很感兴趣。实践证明，当课堂上所讲的教材里既包含一定“份额”的已知的东西又包含一定“份额”的新的东西时，才能唤起建立在思维的本质上面的稳定的兴趣。如果教师的讲述里完全都是新材料，那么学生就无法把新材料跟自己的思想挂起钩来：教师本来想竭力保护的学生的思路就会中断，学生就会被一种在困难面前束手无策的感觉所控制。揭示出已知的东西跟新的东西之间的内部的深刻的联系，——这是激发兴趣的奥秘之一。我们希望的是：学生和教师好比是在共同构筑一座楼房，当学生从教师那里接过一块块的砖头时，要知道把这些砖头垒到什么地方去，并且能看见整个楼房，用思维来把握它，不时地站得远一点来看，把这个建筑物看成一个完整的统一体。让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件。当一个人不仅在认识世界，而且在认识自我的时候，就能形成兴趣。没有这种自我肯定的体验，就不可能有对知识的真正的兴趣。
我们不允许“反复咀嚼”已经熟知的东西，以免引起少年对知识的冷淡和轻蔑的态度。需知少年们希望感到自己是思考家，而不是再现知识的机械仪器。如果我们确知全体学生已经很好地掌握了某一个教材，那就既用不着再布置课后去学习它，又用不着以其他方式去复习它。顺便指出，检查家庭作业常常进行得没有趣味，正是因为它是在机械地重复已不止一次地复习过的东西。
现在我们来谈谈知识的运用问题。就少年的智育来说，这个问题是极其重要的。
学生已经掌握了的那些东西，应当成为建立新的联系的内部刺激物和推动力。这就要求经常地把知识加以运用。有些人认为，所谓知识的运用，就是让学生间隔一些时间完成一些实际作业（如测量、计算一些什么，等等）。但知识的运用应当成为一种脑力劳动的方式，成为讲授新教材的本源。我们力求使讲课变成一种对事实和现象的探索活动：让学生一边思考，一边在自己意识的深处找到那一部分已知的东西，把它作为理解新知识的工具。
在给学生叙述历史事件的时候，或者讲解语言规律性的实质的时候，我在一些场合干脆把一切都讲解得详尽无遗，而在另外的场合则把某些东西有所保留，不把话说完，——这正是那些借助以前学过的知识能够解释的问题。这个方法一经使用，总是能够使学生（包括那些理解和领悟得快的学生，也包括那些头脑迟钝的学生）的思维积极性大为提高：他们眼睛里发出喜悦的光芒，大家都想对教师讲课中没有阐明的那些问题作出回答。关于学生头脑里正在发生着什么变化的问题，这时在我面前呈现出一幅很具体的图画：学生不仅从我手里接过知识的砖头，不仅考虑应该把它们垒到哪里去，而且还仔细地端详这究竟是些什么样的砖头，它们是不是用那种构筑一座坚固的楼房所必需的材料制成的。
我们力求这样来组织少年的脑力活动，以便使理解和掌握知识的过程跟知识的运用紧密地结合起来，使一些知识成为掌握另一些知识的工具，——而兴趣、注意、知识的巩固性等，归根结底也是取决于这一点的。我们在课堂上留出时间，让学生去独立地深入思考各种事实、相互关系、现象和事件。这也就是实践中所说的巩固的实质。所谓巩固，不应当归结为在教师讲完课以后马上就提问学生，而学生就来回答教师的问题。在这种情况下，能够回答的还是那些最有才能的学生，而中等的和头脑迟钝的学生还需要对事实进行补充的研究和理解。其实能力强的学生也是需要这些的；如果在很长时期内他们掌握一切东西都很轻松，那么他们的智力才能就会变得迟钝。在进行这项工作的时候，我们并不把识记的目的放在首要地位。如果我们把学生的精力用在让他们深入思考上，这正好就是在进行不随意识记。如果把全部精力长期地用在记诵上，就会使学生的智力才能变得迟钝。
我们不允许死记硬背，而是帮助学生掌握合理的识记方法，教给他们怎样对所听讲和所阅读的东西进行逻辑分析。在许多课上，我们在讲课开始以前就向学生提出明确的目的——要理解教材的逻辑组成部分，不要记住所有的东西，只要求记住最重要的。学生们以强烈的兴趣来对待这种活动，因为这样做是符合他们的乐于思考的愿望的。少年们逐渐过渡到完成极其复杂的作业：一边听讲，一边把教材的重要的逻辑部分及其顺序记录下来。
65、让学生进行独立的脑力劳动——研究性学习法
大概我们都看到过一种对学校来说很典型的现象，就是许多学校对智力教育的问题没有给予应有的注意。教师在讲解新教材，譬如讲三角函数的概念，学生也仔细地听着内容丰富的讲解。讲完新教材以后，教师问学生：
“你们有哪些疑问？”
教室里没有人吭声，没有人提出问题。于是，教师就认为学生对教材是理解了。可是，当学生一个接一个地被喊到黑板跟前，让他们把老师讲的东西复述一遍的时候，他们的回答却是一知半解的，对教材并没有清晰的理解。教师不得不重复地讲解，并且生气地对学生说：
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