定地图的样子了。
同理也适用于数字。彻底地把数字以及研究它们的科学同数字所代表的事实割裂开来，这或许有用——就像把研究制图的科学和把一个特定的地方画在地图上割裂开来有用一样。但如果这么教小孩子，就是不合情理、难以理解而且荒诞不经的。让孩子们熟悉地图、图例等抽象概念的惟一方式就是将思维从已知的事实转移到地图或图例上。其实我们都是这么做的。我从道理上知道等高线地图是怎么绘制出来的，但我做的就不如我姐夫那么熟练，他的一份工作是设计和布置滑雪场地。他可以看着等高线地图，立刻在脑海里就浮现出那块地方的地貌和形状。他能而我却不能的原因就是他走过了十几座山，仔细研究了所走过的地方的等高线地图。不管用什么样的解释，都无法让我们把一个不熟悉的抽象体系转换成它所代表的事实。我们必须先从另一个方向着手。
第二章 在家里学数学乘法
前面讲过，老师在教孩子们加法和减法的时候，会给他们一个其中的算式都互不关联的单子要他们记忆，同样，大多数孩子们上了三年级，就会遇到类似的几个“乘法算式”。比如像“2×3=6”，另一个是“3×2=6”。如果孩子们问起这一巧合，会被告之（就像教加法时一样）“乘法项是可互换的”，这当然没有解释什么，而只是把孩子们已经知道的事实用更华而不实、让人糊涂的方式告诉给了孩子们。几乎可以肯定，老师会再给孩子一个单子，上面是“100个乘法算式”，于是孩子就要去记忆并会反复经常地被测验。再以后，可能在五年级的时候，他们会遇到分数，被告知“×6=3”以及“×6=2”。再然后，他们可能会被教到2和3是6的因子。
所以，在从一、二年级直到差不多七年级之间（这由他们的老师被要求用哪种算术课本而定），孩子们会有机会收集到下列这些带6的不相关的算式（伴随着整套的说明和小鸡与切块馅饼的插图）：
2×3=6
3×2=6
6÷2=3
6÷3=2
×6=3
×6=2
6×=3
6×=2
2是6的
3是6的一半
2和3是6的因子
但是，和我讲“加法算式”时说过的一样，这些不是分离的“乘法算式”或“除法算式”或其他什么东西。它们是同一个事实，一个不是算术公式，而是自然存在的事实。数字6的自然属性，孩子们可以自己找出来并随意反复证明。事实就是当你有如下这么多物体时：
＊＊＊＊＊＊
你可以把它们这样放置：
＊＊＊
＊＊＊
所有上面那些写下来的“算式”是书写与研究这同一个事实的不同方式。所以任何一个发现了这个关于6的特性与事实的人，都可以如法炮制地对待其他数字，再用同样方法写下来。
人们（不管老少）在这么做的时候，会发现有些数字（2、3、5、7，等等）无法写出与第一行相同的第二行。他们或许会有兴趣知道这些数字被称为“质数”，其他的数字叫做“合数”。任一正整数（除了1）的性质是它要么是质数，要么是合数。还有的人或许乐于自己找出200以内的质数，或用电脑列出某个很大的数值以内的所有质数。但是没有人能用一个公式找出所有的质数。
我并不是说，所有孩子都应该知道、父母也都必须教给孩子我上面提到的关于6的性质。我曾经问过，假如阅读是违法的，是否还有孩子愿意学习并改进阅读技巧。这个问话同样适用于初级算术。有许许多多的人一点也不懂算术，依然过着有趣、有尊严、心满意足的生活。而从另一方面说，这里所提到的数字在我看来很有意思，在许多情况下也很有用处。在一堆大同小异的事情之中，我更愿意多了解一些数学。
无论如何，如果我们要向孩子们展示或教他们加、减、乘、除、分数、因子，等等的话，如果能多少照上面提到的方法去做，效果会很好，因为这样一来，那些看似分散独立的算术现象会从一开始就在孩子的头脑中建立起关联。
第二章 在家里学数学和乘法表交朋友
尽管很多快乐而成功的成年人并不会背诵乘法表，但能把它背下来对以后还是很方便实用的。只要我们的学习方法正确，背下乘法表其实很容易，孩子们也会很乐于发现乘法表中的规律。
重要的是去“认识”它们，而非“学习”。最好的办法不是坐在那里死记硬背（一次背上一条，如同学习什么古怪的外语），而是要去熟悉它们，观察它们是如何运作的，并使用它们。过上一阵子我们就会发现，即使没有专门去学习，我们已经掌握了乘法表。甚至都不知道是经过了什么样的过程，我们已经和乘法表成为了朋友。
下面是一种和乘法表交朋友的办法，它可以使得学习的过程更容易、更有趣，而且记忆得更深刻。当你记得不是那么清楚的时候，它可以提供后援，而且，它能教给你数字是如何运作的，并向你展示这个规律中所蕴含的美与和谐。
我们从一个10×10的格子开始。格子图中，每排有10个正方形，每列也有10个正方形，每一个正方形有所对应的排和列的数字。把排和列的数字的乘积填到格子里。
图表中显示了几个填好的乘积。看第2排第3列，这个正方形里我们将填2×3的乘积，也就是6。在第4排第5列，我们填4×5的乘积，即20。如此进行。如果你对表格觉得不熟悉，我建议你自己把整个表格填满，花多少时间都不要紧。愿意的话可以用计算器。
让孩子们开始使用表格的方法是，给他们一个空白的表格让他们从头慢慢填起。给孩子们足够的时间，如果有必要，哪怕是几个星期甚至是几个月都没关系。把这个图表贴在醒目、顺手的地方，比如冰箱的门上，让孩子们把新算出来的乘积填进适当的格子里。不要催他们，这样我们预料之中的事情便可能发生：孩子们会先从第1列第2列或是第1排第2排的格子开始填……然后就是第5排和第5列……然后是第10排和第10列。他们觉得算出这些数字的乘积“很容易”。太好了！当他们开始觉得算出某个乘积很容易时，说明他们已经开始认识它了，而且可能永远都不会忘。
假如在填这些方格的时候孩子们填错了，不要纠正他们，随他们去。当孩子们对表格和其规律逐渐熟悉了，他们自己会发现有的数字看上去不对，放在那里不合适，和其他的数字有冲突，这个过程就像孩子们在自学阅读的过程中把字读错时会感觉有点不对劲一样。他们能够感觉到数字在有序而合理地运作，这比学习表格本身重要得多。能这样做的孩子，当他们出错的时候会说：“等等，这没有道理。”然后会找出并纠正那个错误。
到了一定时候，孩子会把表格里的空全部填满。如果表格贴在冰箱门上或是别的显眼的地方，把最后一个格子填满的那一瞬间是非常令人兴奋的，可以来个小小的庆祝。
当然，如果计算器在手边，孩子又知道怎么用的话，表格会填得快得多。没关系，即使使用计算器，孩子们也会通过填表格这件事本身开始留意到一些规律。这个游戏可以演变成：要是不用计算器我可以填出多少格子？不要问孩子：“你能记得多少？”孩子们大多不“记忆”，也就是说，他们未曾有意识地记忆。如果我们让他们担心自己能记住什么、记不住什么，对孩子来说，我们实际上是在把这些知识变得离他们越发的遥不可及。
我并不是要把这些建议变成规定，我只是建议当第一张表格被填满的时候，对也好，错也好，你把这张表取下来，换上一张新的。这次孩子会填得快得多。许多乘积变得比第一次做的时候容易了。如果第一次做错了，其中的一些错误会被孩子留意并纠正过来。即使错误再次出现了，也不用担心，孩子或早或晚会发现并纠正过来的。
这里介绍一些填格子游戏的变种。（1）当孩子们能够在5分钟之内填出全部格子时，让他们用表计时，确定出自己所用的时间。下一次，看能否做得再快一点——孩子们都喜欢打破自己的“记录”。（2）在给定时间之内，比如1～2分钟，孩子可以填出多少个乘积。孩子会躲开较难的乘积，用对他们来说已经很容易计算的乘积竞赛，并把大部分时间花在思索那些曾经困难现在开始变容易的乘积上。这次孩子会用几秒钟去算5×6=30。过几天他就会了，这个乘积也变成容易的了。之后他便会转向下一个半难的乘积，再把它变得容易，直到有一天所有的都变容易了。（3）把表格从后向前填，也就是说，从右下角开始向上和向左逐列逐排填。这么做的时候，孩子们会发现以前没有注意到的新的规律，比如做数字9这一列的时候，每往上挪一个格，得数的个位数就增加1，等等。（4）做一个排和列的数字随机排列的表格，看填完需要多少时间。（这会比较难。）
即使是上面提到的练习和方法，或许也并不是必须的。让孩子们认识乘法表的最好办法是让他们发现数字间的关系，以及所产生的规律。这样，会乘以2、乘以3的孩子便会算出表上的几乎所有乘积。为什么要浪费时间去记忆你知道自己可以很快算出来的东西呢？不管怎么样，孩子们自己反复算了好几次算出来的某个乘积，下一次再遇到的时候便有可能会想起来。
不过，就像我提到过的，许多人发现乘法表学起来其实很简便。几年前我在教数学的时候曾经尝试过不同的方法，想把学这个乘法表的过程变得引人入胜一些。当学习变成让人兴奋和激动的事情时，孩子们能学得更好。以下是我当时写下的笔记。
算术练习的缺点在于它们要么让孩子觉得闷，要么让孩子觉得害怕。结果是孩子们要么什么也学不进去，要么学过后也很快就忘了。
我曾经教过几个三年级的学生，他们对于数字一向表现得很聪颖，但就是掌握不好乘法表，这让校方急得不行。有一天我突然想到，在记电话号码时我们更多地是通过听觉而不是视觉记忆的，因此传统的口头重复念诵的办法或许能对孩子记忆乘法表有用，只要我把它们念得更琅琅上口一些。而且这个小点子可能会让孩子们顾不上焦虑，而把全部注意力集中在记忆上。
过了一阵子，我又找到了一个行之有效的办法。我在黑板上写从6～9的这几个数字的所有乘积，如下所示：
6 7 8 9
636424854
742495663
848566472
954637281
孩子们用这个表格练习了一气，弄明白6这一排和7这一列相交的地方应该填上6和7的乘积。我之所以用从6～9的乘积是因为这部分的乘法表是孩子们认为“最难”因而老也记不住的部分。
我已经把乘积填入了，像上表显示的那样。我两只手各执了一只教鞭。我向孩子们解释说，如果我用一只教鞭指着左栏中的7，另一只指着右上方的9，他们就要说“七九六十三”，其他的也如此进行下去。我们开始了。当我挪动教鞭的时候，通过他们回答时语调的迟缓可以感觉到他们在表上搜索着乘积。但逐渐地他们变得自信起来，开始回答得越来越快，也不用费劲地找乘积了，也许他们已经知道上哪儿找了。
这时我突然有了一个主意，我把上述游戏做了个小改动以使其更好玩。我把一个乘积擦去。所有的孩子都欢呼起来。我马上问他们这个乘积是什么，之后就频繁地回来复习，这样它便牢牢地印在了孩子们的脑海里。孩子们发现他们居然不看着这个乘积也能回答出，真是惊喜交加。他们到底是怎么记住的，是通过记忆自己念乘积时的声音，还是通过它们在黑板上的样子，我不得而知，也不想问。或许不问最好。如果他们不得不去思索是“怎么”记住的，这可能会让他们的记忆从潜意识中被剥离，记忆活动便随之停止了。
慢慢地，我擦掉了越来越多的乘积，先是数字6那一排，然后是其他的。随着空白越来越多，孩子们变得越来越兴奋，因为他们惊奇地发现，他们真的可以不看着答案也能回答得出，他们的确已经记住了。
有时候，没有一个孩子能记得起来某个空格里的乘积。这时我什么也不说，只是把乘积填回去。孩子们更兴奋了，大叫着“我就知道是它”。直到表格里只剩下2～3个乘积时，孩子们开始把这个练习变成一个比赛，看谁能在卡壳之前把所有的乘积都擦掉。有时我问到一个谁也不知道的乘积，拿粉笔假装要往黑板上写，但是我的手还没碰到黑板，孩子们中就有人喊出了正确答案，于是所有孩子都赶紧冲我喊着说：“你不能写，你不能写！” 我表示同意，因为这的确公平合理。很快地，所有的格子都空了，孩子们终于赢得了这场胜利。
我当时的笔记到此为止，我猜想那大概是因为乘法表已经不再是让大家头疼的问题了。如果有谁觉得这个乘法表游戏效果不错，可以再增加其数字项，比如11和12，甚至更多。
第二章 在家里学数学大数字相乘
我们做多位数乘法时，比如24×57，或是132×853，可以把大数字分解成简单的小数字。比如8可以分解为3和5，2×8就等于2×3加上2×5。可以写成这样的等式：
2×8=（2×3）＋（2×5）
不过不少人会搞不懂为什么是这样。或许他们还会看到下列这个算式：
3×14=（3×10）＋（3×4）
=30＋12
=42
但他们还是无法相信这个算法适用于所有数字。
一些算术课本在回答“为什么上述等式成立”这个问题时，会解释说“乘法可以分配成加法来计算”。对大多数人来说，这个说法并没有让他们明白多少。本来这�