87 93
43 186
21 372
10 744
5 1488
2 2976
1 5952
算到这里之后，伊万看看左边或二分列中，找出偶数。他找到其中有两个——第四个数10，还有第六个数2。他将跟它们平行的右边（或加倍）列中的数目——也就是说，744和2976划掉。然后，将右列中余剩的数目加起来：
93
186
372
1488
5952
——
8091
可以看出，在曲曲折折费尽气力之后，伊万大功告成，算出了跟用乘法得出的同样的答案。
乍一看来，这并不是什么尽善尽美的方法。如果你想起伊万浑然不知乘法表为何物，你就会认为此法确实灵巧非凡。而伊万则摇身一变成为聪慧儒雅之辈。
不过，他并非那么聪慧儒雅，而依然一如愚人。但是，你如果责怪他从数目的二进位制求取帮助，他就会公开嘲笑你。
但不管怎样，这便可证明他算出来了。而且全能自动电脑及其电子同胞兄弟们今日也是这样算的。
为证实全能自动电脑是怎样运算的，让我们把某些数目拆开，看看其中包括些什么。
我们的二进位数目——比如说，87——实际上就是一种速记形式，（在这一例中）是8^1*10^1加7*10^0的“定位”讲法。数字越大，速记越显得短。比如1956，可写作：
1*10^3=1000
9*10^2=900
5*10^1=50
6*10^0=6
——————
1956
（为防止你上高中时间过长，10^1就是10的意思；10^0指10除以10，或者是1。无论你上高中有多长时间，都应该记着10^2的意思是10乘以10，或者是100，如此类推。）
在许多科学幻想小说中（别处很少见），都说这十进位制属于人类的“天生的”数数制。因为，你瞧，我们每一个人不都有双手十指吗？我们切不要把它作为理论而纠缠不休。它如果真是这样，那么当我们的探索火箭发现十二进位的天外地域（或者换言之，当我们的考古学家发现古巴比伦人比我们现代人多六倍的指头）时，它就可通过大量的机会证实自身。此外，假若我们认定这个故事天经地义，那么我们便可对全能自动电脑做出这样的“解释”：由于计算机设有可用来查数的手指，所以不得不运用一种更简单的方法。这种更简单的体制，其名称就是“二重”或“二进”制。世界上大多数数目现在都正被翻译进这种体制，以求被输入、被消化在电脑中。
二进位制恪守十进位制的所有规则。它属于定位性的；它可以表示任何有限数目；它可以用来加、减、乘、除，求指数，以及人类及全能自动电脑所知的任何代数方程。惟一的差别是：它的基数是2，不是10。它削去十进位数中的10个基数中的8个——2，3，4，5，6，7，8和9——只剩下0和1。
当然了，你是可以这样来算数的。1是一；10是二；11是三；100是四；101是五；110是六；111是七；1000是八；1001是九；1011是十；如此类推。用它可加可减：
四 100
加三 11
——————
等于七 111
用它可乘可除：
六 110
被三除 11
——————
等于二 10
你可以不费吹灰之力算出来，而无需背诵乘法口诀。这样使你的青春时光自由自在，在夜晚尽情欣赏棒球比赛，或者访朋问友。
回过头来再看一下伊万的俄国式乘法；让我们以稍微不同的方式再重新运算一遍。让我们将两列数目都二分，左右都是这样。我们不再削掉数字，而要在奇数边上注上“1”，在偶数边写上“0”，这样：
87 1 93 1
43 1 46 0
21 1 23 1
10 0 11 1
5 1 5 1
2 0 2 0
1 1 1 1
现在，你可能还不知道，你做出的结果是什么样子——伊万肯定也闻所未闻——实际上你已经将两个十进位数转化成二进位数的对等物了。从下向上读，1010111是二进位中的87，1011101是二进位中的93。
要理解这样做的意思，就要牢记我们是如何将一个十进位数分开的。一个二进位数也可以分成同样的份数。惟一的区别是，份数是2的乘方相乘，而不是10的乘方相乘。这样的话，1010111，就是下边说法的速记形式：
1*2^6=64
0*2^5=0
1*2^4=16
0*2^3=0
1*2^2=4
1*2^1=2
1*2^0=1
————
87
这就是我们刚才提到的原来的数字形式。
如果你将87和93这样的数字输入全能自动电脑，它的消化功能就会给搞乱——实际上，除非这些数字先被消化，否则它就无法消受。所以你必须像我们上面所做的那样，先将它们转化成二进位数目（“数字”或“数点”）。诸如1010111和1011101这样的二进位数，全能自动电脑处理得非常好。想做乘法吗？毫无困难。全能自动电脑，依其电子途径，会如是而行：
1010111
*1011101
———————
1011111
0
1010111
1010111
1010111
0
1010111
———————
1111110011011
这看起来叫人害怕，因为人们对这种东西很不熟悉；但是，得出的结果仍然跟87*93是一样的；它是下式的速记形式：
1*2^12 4096
1*2^11 2048
1*2^10 1024
1*2^9 512
1*2^8 256
1*2^7 128
0*2^6 0
0*2^5 0
1*2^4 16
1*2^3 8
0*2^2 0
1*2^1 2
1*2^0 1
——————
8091
请看，这多么简洁！尽管数目很大，但可以看到处理时又变得多么快捷。
又比如，加法变成简单的计数（当然是二进位数——1，10，11，100等等的计数。如果愿意，你可以称之为“一”，一十”，“十一”，以及“一百”等等，并无妨碍）。将一组数目相加，比如：
101
100
110
111
———
10110
你只需简单地数右栏数字（1，10；写下0和1表示）；然后数中栏数字，当然要从一开始算起（1，10，11；写下1和1表示）；然后数左栏数字，还是从一开始算起（1，10，11，100，101；写下1和10表示；写下10）。
我认为，这跟一个代数式一样容易计算，乘法也差不多是这样。乘法只用写下数目，将位中的一个适当数目向左移，或者根本无需写下数目（取决于你是用“1”还是“0”乘那个数字）。因此，此外不外是相加；而相加已如上述，不过是数数而已，完全用不着乘法表！用不着死记硬背叫人生厌！无怪乎全能自动电脑和伊万都喜爱它！
如果说这样的二进位制有一个缺陷的话，那就是，它过分简洁明快，所以有些单调乏味。
不过，世上的工作都充满着单调乏味的操作过程，但我们又不能不做。我们已经找到了处理它们的两个好办法——要么把它们交给机器（像全能自动电脑），它们没有能力产生厌烦情绪；要么看成是一种机械性的常规把它们掌握住。
我妻子观察出（就像很多妻子有时的观察），不论她提出什么建议做出什么变动都无所谓，我经常都能找到十数个绝妙的理由使之保持原样。由于人们的保守性，我们大多数人都会寻找借口反对任何形式的变化（“魔鬼也是自己熟悉的好”）。又由于人也是可塑的，所以，一旦变化带来报偿，我们不管怎样经常都能逾越我们的异见。
让我们来看一下换用二进位制可能带来的不便和便利吧。这种情况实际上是引不起争论的，因为电脑默无声息的票数已以压倒性多数超过了我们人类的票数。但还是让我们来看一下，对我们这样有厌烦能力、爱吹毛求疵的人类有什么益处。
不便之处马上就会显现出来，首先是二进位数跟它的十进位数相比好像大而无当。但是，二进位数实际上并不比十进位数长多少（大约三位），这倒是没有问题的。事实上，真正大的数目不管在什么进位制中都是根本不易运用的。在目前流行的十进位制中，科技人员要么用近似值（比如3*10^47）、要么用它们原初的分解因式和指数形式（19^3*641^5*1861）、要么用其他因数或者速记方式来表示大的数目。甚至在我们每天的报纸上，连标题也倾向于用6。5百万美元，而不用6；500；000美元。
至于“大如居室”的数目——啊，我们假设在百万之内——仅仅由于长度这样的问题似乎并不能对二进法产生否定意见。你可以用20个二进位数点表示那么大的数目（相应的十进位数是七位数），像这样一个——随便挑选的——101001111001011000010确实有点儿吓人。但是，它的十进位等数1372866不是很可爱的吗？
或许数目本身并没有什么，或许我们的阅读方式需要某种改变。比如，1111110011011这个数目。你在几页前已跟它见过面（可谓故友重逢，那是87同93相乘的结果）。不过，你自有何曾相识之感，几乎认不出它来。这是不是由于它的认知价值本质是很低的？抑或是我们在阅读（以及形成书写习惯）这种数字时缺乏训练？
请记着，在十进位制里，我们是将三个一组隔开，以求简化阅读这样大的数目。比如说吧，5000000000000本身很难读，而5；000；000；000；000，则一目了然，一下子就可看出是五个百万平方。我们为什么不给二进位数目找一种类似的成规呢？没有理由拘泥于三个一组，我们可以选五个一组，这样就可将87*93乘积——亦即8091——的表达法写作111；11100；11011。
看，还有点益处。正如平常出现的那种情况，一个方面若稍有进展就可能会给尚未解决的相关问题带来帮助。这里的相关问题就是心读化的问题。我们都靠嘴来阅读，即使有时嘴唇肌肉动作完全受到抑制肉眼无法看到，喉管中仍旧在形成我们所阅读——或者思想的事物的任何声音。诸如***逗号***啊啊逗号**啊**这样一组，简直就无法发音。
不过，有能力评论一个问题，就等于在解决它的道路上前进了许多。很明显，给二进位数目赋予更多的发音价值是毫无困难的。
实际上，这样一种制度已经广泛得到运用。如果你在人声嘈杂的夜晚走进切尔西的爱尔兰沙洲银行，或许会碰到一两个海运官员在随意闲聊。由于人声鼎沸，他们并不怕人偷听，也不怕受到干预。如果你恰好听到他们谈话，他们又恰好是无线电报务人员，他们便会用电码互相交谈。就莫尔斯一点一画相间的电码而言，其中包含有一套非常严格的成规定则。“嘀”是短线，“嗒”是长线。如果我们就以这套规定而以二进位制代之的话，可能会丢掉某种便利——无疑一种更为严谨、更为明晰的体制有可能根据基本的发音规则被创造出来。但是，它却有一个特别的方便：它行之有效。我们用不着对它测验，用不着不相信它；我们明白它行之有效。它在全世界范围内为无数个无线电发报机工作已有好几个时代了。
让我们把“1”的发音当作“嘀”，“0”发作“嗒”。这样，111；11100；11011就变成嘀嘀嘀 嘀嘀嘀嗒嗒 嘀嘀嗒嘀嘀——
于是我们就会发现有点奇怪。我们已经承认，二进位制有一种本质上的缺陷，此即它的数目在原则上没有十进位制精确。
不过，如果我们要将十进位数8901转换成莫尔斯电码。就必须这样表示：嗒嗒嗒嘀嘀 嗒嗒嗒嗒嗒 嗒嗒嗒嗒嘀 嘀嗒嗒嗒嗒。也就是，四组，每一组包含五个“位”，总共有20个“位”。
但是，正如上面所见到的，它的十进位数对等物只需三组，总共有13个“位”。
我们所认可的东西显然很不成熟，至少在这个特别的例子中是这样的——而这又绝不是无关紧要的例子——二进位制可以比十进位制更精确些。
既然能找到这样一个例子，那就让我鼓起勇气再多找一些吧。
我大约十岁时，我们小孩喜欢玩一种数数儿游戏在汽车上打发时间。我们会选一个普通的东西——牛或福特汽车或农场“出卖”的牌子——看看在给定时间内谁数得最多。这样总可使我们安静相处，在头一两英里平平静静——几乎总是这样。
麻烦的是，我们是靠手指数数的。这样自然可以顺利数10个数目，还可以顺延到20或者是30——在用指头数第二圈或者是第三圈时，并不需要多少特别的记忆技巧。不过，当我们数到高于它们很多的数目时，就要在很大程度上依赖我们各自不同的记忆：我们将10个数目数了几遍，这样麻烦也就来了。
自然地，我们是靠十进位制来数的。
用二进位制能否做得更好些呢？
将双手的十指在面前伸开（不要因语义而进行诡辩“拇指”是不是一个“指头”——你明白我的意思），让我们来看看它们能干些什么。
我们开始时要建立起一套规则。伸出一指是“1”，收回一指为“0”。
紧握拳头，开始数起：
伸出右边小指。这是1——二进位和十进位都是这样。
缩回小指，伸出右边无名指。把它读作10（或者十进位中的二）。
保持无名指姿势，并将它旁边的小指伸出。读作11（十进位中的三）。
收回这两个指头，再将右手中指伸出。读作100（二进位）或四（十进位）。
如此类推，你会发现这样来回伸缩手指需要练习或者天生的灵活性——当然了，除非你将手指放在桌边上休息，那就无所谓了。
你的手指确实就可当做“数点”，你是在依靠有效的进位制运用它们的。请注意，你可以表示从00000；00000（两个手都握着）以至到11111；11111（两手都伸开）之间的任何数目。下一次你若想将一个可能大的数目——比如，在拥挤堵塞的车道上你前边的车数；或者，棒球投手投掷的安打数目——你可以试试这种方法。�