踔丁Ｈ纭端镒铀憔废低臣窃亓怂愠锛鞘贫龋锼愠顺ㄔ蚝投攘亢獾牡ノ幻萍敖啤Ｕ琊阶质遄瘢藜ń窈颖蔽藜┤耍伪敝芩玖ゴ蠓颍褐锌な亍Ｐ欧鸾蹋⒆缎Φ缆邸贰Ｍㄌ煳睦ǎ短旌屠罚谔旌驮辏�566）颁行。所撰数学著作《五曹算经》，分田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹五卷，是为地方行政官员编写的应用算术书；《五经算术》则是对儒家经籍及其古注中有关数字计算的解释；《数学记遗》题汉徐岳撰，可能是甄鸾伪托之作，其中记载了十进、万进和数穷则变的大数进位法。《数术记遗》还列举了积算、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数，共14种记数方法和相应的记数工具，多不实用，但也反映了人们改革计算工具的尝试，其中的珠算虽和后世的珠算不同，但也可能对珠算术的产生起过某种启发作用。
这一时期除上述成就外，诸如刘徽的求弓形面积方法，阳马术的证明，开方不尽求微数的十进小数思想，以及张丘建的等差级数求和、求公差及项数公式，最小公倍数的概念和应用等等，都是很有创见的贡献。
第七节刘徽的极限思想刘徽为证明《九章算术》中的各种公式，提出了“析理以辞，解体用图”的要求，并创立了对许多问题行之有效的图验法和棋验法。但是有些问题并非仅仅用棋用图就可以解决的，而是需要具备相当清楚的极限思想。
在先秦诸子的著作中就已有了极限思想的萌芽，如名家就提出过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。但先秦诸子的这类思想大多带有思辨性质，而刘徽则把极限思想和极限概念运用于解决实际的数学问题，这是极为重要的。刘徽创立割圆术，用圆内接正多边形面积逼近圆面积，用圆内接正多边形周长逼近圆周长，解决了推求圆周率精确值问题，是他应用极限思想的成功事例。他对阳马术（四棱锥体积公式）的证明也是很精彩的。这个问题虽然相当困难，但刘徽运用极限方法完满地证明了阳马（四棱锥）与鳖臑（三棱锥，亦即四面体）的体积之比为2∶1，从而由堑堵（楔形）体积公式推导出阳马体积的正确公式。他处理弧田术（弓形面积公式）的作法，开方不尽时求微数的思想，以及对两立体截面积与体积关系的认识，无不与极限和无穷小分割的思想紧密地联系在一起。这些思想具有深刻的数学内涵，并且是解析几何、微积分等现代数学方法的基础。刘徽在那样早的时代就产生了这些思想并用于解决实际问题，确实是非常不简单的和难能可贵的。
第二十四章天文学三国两晋南北朝是天文学非常活跃的时期，不仅产生了一系列极为重要的新发现，而且在恒星观测、历法计算和天文仪器制造等方面也取得了不少新的成就，从而为中国天文学的进一步发展打下了良好的基础。
第一节星官体系与全天星图研究日月五星运动规律需要建立参考体系，制作浑象需要将星象缀刻在仪器上，因此天体运动的研究和天文仪器的研制，要求加强恒星观测工作并提供一种含星较多的星官体系。先秦典籍和甲骨卜辞中已记载有不少星官名称。湖北随县曾侯乙墓中出土的二十八宿漆箱盖图案，说明在公元前433 年以前已经形成了北斗二十八宿这一星官体系。汉武帝时，司马迁在《史记·天官书》中，综合以前各星占学派使用的星官，建立起一个有五宫二十八宿共计558 颗星的星官体系，这是中国古代第一个完整的星官体系。这一体系中的星官与西方天文学中的星座大同而小异。星座是指许多恒星组成的视觉图案，星官则有两个以上恒星组成的组合，也有单个的恒星，所以星官一般比星座小。在此以后，史籍中还有一些关于天文图籍和星官的零星记载，但总的说来，汉代以前对全天恒星系统的认识仅限于二十八宿及其外的某些星组。此外，社会上使用星官最多的是天文星占家。但长时间形成的不同星占学派，由于对星空的认识和占卜方法的不同，因而各自有常用的星官体系，其中最著名的是甘德、石申和巫咸三大家，于是也就有甘、石、巫咸三派星官体系。《史记·天官书》不区分三家星，在实用中不完全适合不同流派星占家的需要。在魏晋南北朝时期，根据社会需要和在前人成就基础上，对全天星名、星数进行一次总结，建立一种既能区分三家星又是统一体的新星官体系，已是必要的和条件成熟的工作。这项工作由三朝太史令陈卓完成了。陈卓大约生活在3 世纪下半叶至4 世纪初，年轻时任孙吴太史令，曾作《浑天论》，其观点与王蕃大致相同。晋灭吴后，他由吴都建邺（今南京）到洛阳，任晋太史令，后因年迈离职。316 年西晋亡，陈卓重返江东，次年在东晋都城建康（今南京）复为太史令。据《晋书·天文志》载，“武帝时，太史令陈卓总甘、石、巫咸三家所著星图，大凡二百八十三官，一千四百六十四星，以为定纪”。陈卓把当时主要的三家星汇集在一起，并同存异，编成283 官、1464 颗星的星表，并绘制出总括三家星官的全天星图，还写了占赞文字。陈卓的成果对后世有很大影响，他所总结的全天星官名数一直是后世制作星图、浑象的依据，在我国历史上沿用了一千多年。我们现在见到的星图和星表，如著名的敦煌星图、苏州石刻天文图、常熟石刻天文图等，其所收星官数都未超过陈卓星图，直到明末西方星图和星表知识传入后才有所突破。另据记载，刘宋元嘉年间太史令钱乐之两次铸造浑象，将全天恒星标在浑象上，他所用的就是陈卓所定283 官1464 星，并用朱、白、黑和黄、白、黑三种不同的颜色来区分三家星。陈卓也是一位大星占家，不仅为星图加注占赞词语，而且撰有《天官星占》10 卷、《万氏星经》7 卷等星占著作。陈卓的星表、星图和著作均已失传，但仍有不少材料为他人所引用，如《开元占经》中收有许多陈卓占语，在敦煌写本中还发现一首反映他的星官体系的《玄象诗》。写有《玄象诗》的敦煌卷子现存法国国家图书馆，编号分别为P2512 和P3589 号，P2512 抄于唐武德四年（621），P3589 卷末有“太史令陈卓撰”，可知此诗系陈卓所写。这首诗分别按石氏、甘氏和巫咸氏三段吟诵三家星，最后一段专写紫微垣。《玄象诗》是研究魏晋时期星官体系的重要资料。唐代学者王希明《丹元子步天歌》也介绍了陈卓所总结的星官体系。第二节天文仪器的研制和革新据今所知，三国时期，蜀、魏都没有制作天文仪器的记录，而孙吴则在制作仪象方面很有成就，如王蕃依据张衡旧制制成一台小型浑象，葛衡也制造一台浑象，其特点为“使地居于中，以机动之，天转而地止，以上应晷度”①。天文学家陆绩还制造了一台卵形浑象。
西晋末年，中原匈奴族政权前赵制成测量用浑仪。此仪由史官丞南阳孔挺设计制作，成于刘曜光初六年（323）。这台仪器是很重要的，因为对于在此以前使用过的浑仪，仅有片言只语的记载，而孔挺浑仪则是第一台留下详细资料的仪器，通过它可以进一步了解汉代浑仪的基本结构。据《隋书·天文志》所载，孔挺浑仪系铜制、由内外两重组成，外重由三个相交的大圆环构成浑仪的骨架，并由四柱支撑着外重骨架；内重是用轴固定在骨架上的可转动的双环，双环直径八尺，双环之间夹置一具可以俯仰的望筒①，也长八尺。由于年重的转动轴一为天北极，另一为天南极，所以这架仪器可以方便地测量天体的赤道坐标。在孔挺以前时间最近的同类仪器当属东汉永元十五年（103）左中郎将贾逵的黄道铜议，由于该仪加有黄道，所以必为三重结构，比较繁杂，且不易使用②。孔挺显然注意到这个问题，于是将自己的仪器改为两重结构，去掉了黄道环。
东晋义熙十四年（418），宋高祖刘裕于咸阳之战后，得到孔挺所制浑仪，并在称帝后，将其运至首都建康（今南京）。刘宋元嘉年间，社会稳定，经济发展，颇好历数的宋太祖刘义隆认为这台浑仪虽然很好，但在仪器上着不到日月五星和恒星星象③，是个缺欠，因而诏令太史令钱乐之制作新仪。钱乐之于元嘉十三年（436）铸成有别于浑仪的浑象。他的新浑象继承和发展了东吴的浑象制作技术，特别是受到葛衡仪器的影响，其结构与张衡的仪器有所不同。新浑象将地平置于球内，地平面将大圆球一分为二，半覆地上，半没地下。在球上缀以星象，在黄道上布以日月五星①，以水力推动，昏明中星与天相应。为了与地平放在球外的浑象区别，按宋代苏颂等人的称呼可称之为浑天象②。元嘉十七年（440），钱乐之又制成一台小型的浑天象，直径只有二尺二寸，便于搬动，使用起来更加方便。浑天象与浑象功能相同，本质上是一回事，但由于结构变化，工艺要求更高一些。球内地平表示人居住的大地，如果要在球外能看到球内的大地和大地上的装饰，这就要求球必须有相当的透明度。其具体制作方法，现在已难于查考，可能在铸好的骨架上蒙上细铜丝编成的铜网，做成透明网球；也可能蒙上纺成的细纱，再缀以星体。总之制作难度较大，这也反映了当时工艺水平的提高。
浑天象在当时发挥了很好的作用，因为天包着地，所以它比浑象更形象① 见《隋书·天文志》。
① 《隋书·天文志》：“其双轴之间，则置衡长八尺，通中有孔，圆径一寸，。。衡既随天象东西转运，又自于双轴得南北低仰。。。其仪至梁尚存，华林重云殿前所置铜仪是也。”② 《后汉书·律历志》：“黄道与度数转运，难以候，是以少循其事。”③ 《宋书·天文志》：“高祖平长安，得衡旧器，仪状虽举，不缀经星七曜。”① 《宋书·天文志》：“诏乐之更铸浑仪。。地在天内。。规二十八宿。。置日月五星于黄道之上，以水转仪。”
② 见苏颂《进仪象状》。
地演示出浑天说的精髓，更符合浑天说者的原话。据《隋书·天文志》载，刘宋天文学家何承天论浑天象体就说过“详寻前说，因观浑仪，研求其意，有悟天形正圆，而水居其半，地中高外卑，水周其下”。何承天观察了仪器演示后对天体浑圆，有了新的领悟，但他仍相信盖天说的观点，把地说成中间高四周低的弧面。浑天象实际上并不是单纯的演示仪器，它也是研究日月五星运动规律的有力工具。根据实际观测得到的七曜相对于周围恒星的位置，可以较准确地将其分别安置在黄道的不同部位，然后通过不断观测，可以了解它们相对于恒星的运动规律，从而测算出行星的会合周期。钱乐之的仪器还有一个十分突出的特点。据《宋书·天文志》说，那台小浑天象“安二十八宿中外官，以白黑珠及黄三色为三家星”；而大浑天象，则用朱、白、黑三种颜色分别表示甘、石、巫咸三家星。显然，他将陈卓的星官体系固化到了仪器上，尽管后来陈卓的图录失佚，但钱乐之的仪器却历经宋、齐、梁、陈、隋五个朝代，为陈卓星官体系的保存和传播，起了重要的作用。刘宋以后梁代也制作过浑象，《隋书·天文志》载“梁秘府有，以木为之。其圆如丸，其大数围。南北两头有轴，遍体布二十八宿、三家星、黄赤二道及天汉等。别为横规环，以匡其外。”这是一台大型浑象。在大木球外匡以地平圆环，所以它与钱乐之的浑天象地平在内结构不同。这一变化也在一定程度上反映了人们天文知识的进步。
在南朝热衷于制造各种浑象的时候，与南朝对峙的北魏却对制造浑仪极为热心。北魏天兴初年（398）太祖拓跋珪命太史令晁崇制作浑仪。仪器完成后晁崇升迁为中书侍郎令，可惜后来又为拓跋珪所杀害。永兴四年（412）明元帝拓跋嗣又诏造太史候部铁仪，由鲜卑族天文学家都匠斛兰铸成铁浑仪，这是我国历史上唯一的一台钦制浑仪。《隋书·天文志》说它分内外两重，“用合八尺之管，以窥星度”。永兴铁浑仪的基本结构与前赵孔挺浑仪大致相同，但又有新创造。如在底座上铸有十字形水槽，以便注水校准水平，这是在仪器设备上利用水准器的开端。后魏铁制浑仪是一台质量很高的仪器，北魏灭亡后，历经北齐、后周、隋、唐几个朝代一直使用了二百多年，直到唐睿宗景云二年（711），天文学家瞿昙悉达还奉敕修葺此仪，可见其使用寿命之长。
除浑仪和浑象的研究和改进外，公元5 世纪北魏道士李兰还发明了秤漏，在改革计时装置方面作出了新的贡献。秤漏的原理是用渴乌（虹吸管）将漏壶中的水引入权器，然后称量水的重量以确定时间，“漏水一升，秤重一斤，时经一刻”①。秤漏简易、灵敏，可测量很短的时间间隔，并且可随时开始和结束，测量任意的时间区间，因此在隋唐时曾风行一时。
① 见《初学记》。
第三节岁差的发现冬至时刻太阳在黄道上的位置叫冬至点。我国早在战国时期，历法家们就把冬至点确定在牵牛初度②，意思是冬至点离牛宿距星的赤道宿度不到一度（古1°相当于今0。986°）。公元前104 年制定太初历时，认为元封七年十一月甲子朔旦冬至“日月在建星”。《汉书·律历志》记载刘歆《三统历》认为经过一元后，日月五星“进退于牵牛前四度五分”。这说明汉代的实测证明冬至已经不在牵牛初度，而是在牛宿以西靠近斗宿的建六星附近。对于这一观察事实，思想保守的刘歆并没有在计算中使用，三统历中日月起算点仍采用牵牛初度。东汉贾逵测出冬至点既不在牵牛初度，也不在建星，而是在斗二十一度③，明确肯定了冬至点的改变。但他只是想到冬至点位置应予改正，而没有深究其中的规律。东晋天文学家虞喜（281—356），字仲宁，会稽余姚（今浙江余姚）人，“博闻强识，钻坚研微，有弗及之勤”�