在货物税项下，个人把自己的全部货币收入用于P2所示的一组货物；不论征收什么税，全部货币收入被认为保持不变，这笔开支等于税款加上税前价格P2的成本。因此，如果在所得税项下交付同样数额的税款，他便可以用余下的收入，以税前价格购买P2所示的一组货物。所得税项下的预算线便是DE。但是，依此预算线，个人实际上不会购买P2表示的货物组合，而是将购买在更高的无差异曲线上P3所表示的货物组合。因此结论是，所得税比之产生同样收入的货物税可使消费者达到更高的无差异曲线，这也就是，（1）所得税A优越于货物税A。
到目前为止，我们仅涉及到了一个个人。这类分析一般也就到此结束了。但其结论和直接推广到整个社会，以便得出这样的命题：如果取消货物税而征收所得税，每个社会成员交付以前作为货物税所交付的同样金额的所得税，所有社会成员都会（在更高的无差异曲线上）富裕起来。
所谓“证明”中的谬误
这个“证明”包括两个基本步骤：第一，关于一个孤立的个人的命题1的推导；第二，该命题对整个社会的推广。
对于一个孤立的个人来说，这种分析完全站得住脚，如果仅向许多人中的一个人征收货物税A或所得税A，它们将具有一些图3．1总结出的内容以外的无关紧要的间接影响，而该图可以适当地说明所讨论的那个人最终达到获得的位置。其算法是无可指摘的，而且在这个实例中，仅有算法是适当的。
在另一方面，将上述分析直接推广到整个社会是站不住脚的。尽管图3．1是对只向一个人征税时的最终位置的一种恰当的说明，即在向社会中的每一个成员都同样征税时，该图的说明就不恰当了——除了对那些习惯于由需求曲线的通常方法而形成的思维方式的人来说以外，这点确实会是十分明显的。例如，考虑图3．1中的预算线AB和AC。十分明显，不使用无差异曲线，在预算线为AC时，可供消费者做出的选择要比预算线为AB时明显差一些。预算线为AB时，如果他愿意，他可以得到在预算线为AC时可以得到的任何一种选择，再加上三角形ACB中的各种商品组合。因此，把对一个孤立的个人的分析推广到整个社会就是假设：只征收货物税，就缩小了提供给每个消费者的选择范围，而且这种缩小的程度可以用简单算术的方法计算出来。这怎么可能呢？征收货物税本身并没有改变任何从技术上看的生产可能性；它本身并不减少可提供给社会的物质资源。如果在国家指导下，把收入用来生产以前没有生产的产品（称产品Z），它可能减少用于生产X和Y的资源量。但是，在这种情况下，由于需要增加另一个数轴来表示产品Z，图3．1就根本不适用了，因此，更重要的是，可供消费者选择的数量的减少，要依靠各种物质与技术的可能性，如国家要生产的产品所需的那些资源以及类似的因素；利用图3．1总结出来的知识中的简单算术方法是计算不出其减少量的。
上述分析根本没有谈到货物税所得收入的目的问题；如果所得被储备起来，或用作给一单位Y商品的补贴，或对消费者的收入补贴，事情不会有什么改变。但在所有这些情况里，税收都不会缩小技术上可行的选择范围。如果价格暂时不变，除税收引起其变化外，货币供应保持固定，而且，如果税收所得收入被储备起来，则在短期内当然可能出现失业现象（虽然这里假设世界上仅有商品X和Y存在是相当含糊的做法）。然而，这并不是个稳定的状况；价格相对于货币收入将趋向下跌，使AC线向右边移动。更重要的是，如果价格相对于货币收入没有下跌，则不管是货物税还是所得税的最重要的含义将是相同的，也就是说，其中任何一项税都倾向于产生失业，并使可供消费者做出的选择减少。P3和在效用上与P2相等的初始价格上的点（与AB平行的预算线和通过P2的无差异曲线之间的切点）之间的差异比之其中任何一点和P1的差异要小；确实，在货物税（或等量的所得税）趋近于零时，前者差异与后者差异的比率也趋近于零．结果是，如果认为价格的刚性和失业的产生是主要后果，结论必然是所得税与货物税对“福利”具有基本相同的影响。它们之间在效果上的任何区别都是“微不足道”的。
此途径挽救不了这个分析。正像刚才所述的各种考虑和假设的货物税的全面转移所充分表明的，此类分析显然是打算作为“长期的”分析——比较“静态分析”，而不是动态分析。因此，我们可以从短期的价格刚性中抽象出来并假设对新环境的完全适应。但是，如果这样，则光凭图3．1既说明不了所得税，也说明不了货物税的最终效应，这一点很清楚。例如，假设把货物税用作对每单位Y的补贴，这样即可得知新预算线的斜率（若合理调整货物税和补贴，也许可为AC所示），但其位置并不能由此得知；因为它的位置并不是仅由消费者的喜好和算术运算来决定，还要由可供社会选择的技术可能性来决定。
一个“正确的”分析
为了把技术可能性引入本论题，我们假设面对一个有许多完全相同的个人的社会——他们的趣味相同，偏好相同，就连个人拥有的资源的种类和数量也相同。在这个社会里，每个人都将拥有同样的收入，且消费者相同的商品组合，因此，我们可以像图3．2所示的，以任何一个人的位置来表示社会的位置。在社会可利用的资源一定时，将存在一些技术上可能生产的X和Y的组合。这些产品组合可以通过一条生产无差异曲线来表示。由于在我们假设的社会里，每个人都将消费每一种商品的一个可除尽的份额，故我们可以根据个人数量来划分这个生产曲线的坐标，并在任何个人的无差异图上绘制其结果。图3．2上的GH就是这样一条生产可能性曲线。假定每个人最后都选择相同的组合，这条曲线表明在技术上对每个人都有可能实现的X与Y的各种可互相替代的组合。应该强调的是，图3．2是适用于个人的。因此，它不涉及人与人之间的比较，我们这里关心的是个“配置的”问题，而不是一个“分配的”问题，而且，我们可以通过处理由相同个人组成的社会而从分配问题上抽象出来。
如果社会本身起初处在充分竞争均衡的位置，则每个人将会处在P1的位置上。在这一点上，消费上的替代率（消费无差异曲线斜率）与市场购买替代率（预算线斜率所示的价格比率）相等。接下来，该替代率又与生产中的替代率（生产无差异曲线斜率）相等。正像P1处在技术上可以被生产出来的各种产品组合的边缘上（这些可能性当然不仅包括GP1H线上的，而且还包括生产无差异曲线与原点之间的各点）这个事实所示，技术可能性被充分利用了。
在这张图式上，我们怎样表示出比例所得税呢？如果税收收入被暂时储存起来或以人均补贴的形式归还给个人，该图式显然将完全保持不变。因为这样一项所得税和补贴，不会改变X和Y的相对价格，也不会改变消费无差异曲线或生产可能性。它们在现阶段的分析中纯粹只是一种名义上的变化。如果国家使用所得税收入，利用原生产X或Y的资源生产比如说Z，生产可能性显然就被改变了。现在将会出现一条新的生产无差异曲线，表示在生产特定数量的Z的条件下，可以被生产的X和Y的各种组合。但是，生产无差异曲线的变化仅仅依赖于生产出的Z量，而不是依赖于如何取得生产资金。如果我们假设Z量已确定并保持不变，则不管征收所得税还是货物税，新的生产无差异曲线将是相同的；从而在对所得税和货物税的差异进行研究时，在不失去普遍性的前提下，我们可以假设GP1H为扣除生产Z所需资源后的生产无差异曲线。因此，图3．2为了对比例所得税与货物税进行各方面比较，既可以表示征税前，也可表示征税后的情况。
那么，货物税又怎么表示出来呢？有一个条件是很明显的，即均衡的位置必须在生产无差异曲线GH上。在现有的资源基础上，生产无差异曲线上方的任何位置在技术上都是不可能的；在其之下的任何位置，没有充分利用现有资源，因此是不稳定的。除此之外，就我们的目的而言，货物税的基本特征是它导致两种价格——消费者所付出的价格和生产者得到的价格的分离——因而，也就导致在原来相同的两种价格比率——与消费者有关的价格比率和与生产者有关的价格比率之间的偏离。令消费者全部开支保持不变，则其在市场上采购时能够用一种商品替代另一种商品的条件必须通过包括税收的价格来计算，令生产者全部收入保持不变，则其在市场上销售时能够用一种商品来替代另一种商品的条件必须通过不包括税收的价格来计算。消费者的均衡要求消费者购买时能够替代的比率与他们在消费中愿意替代的比率相等，也就是消费者预算线与消费无差异曲线相切。生产者的均衡则要求生产者在销售中的能够替代的比率与他们在生产中能够替代的比率相等，也就是固定收入线与生产无差异曲线相切。满足这些条件的均衡点为图3．3中的P6。IJ线对消费者来说是预算线；KL线对生产者来说是固定收入线。因为对商品X征收货物税A，所以这两条线偏离了。可以认为这种偏离决定着这两条线之间的角度，而且意味着消费者通过放弃一个单位的Y而能够购买到的额外数量的X，少于生产者为了补偿少销售一个单位Y的损失而需要售出的额外数量的X。在P6点上， KL与生产无差异曲线相切，IJ与消费无差异曲线相切。
正如在画图3．1时所设想的，在实行货物税时，价格Y与价格X的比率（在P6点）不能够简单地通过在P1点的初始价格比率和该货物税率来计算。它还要依赖于生产方面的考虑，生产可能性曲线下凹程度越小，则该税转移到消费者身上的部分就越大，而转移到生产者身上的部分就越小，反之也一样。从不包括税收的两种产品的相对价格在P6点与在P1点一样的意义上讲，只有当生产可能性曲线与AB线完全相同时，该税收才会全部转移到消费者身上。
像图3．3所示各曲线的形状一定，则P6必然要低于P1，也就是说，个人处在较低的无差异曲线上。假设初始位置是没有税收或补贴条件下的充分竞争均衡点，也就是P1，则货物税A就不如所得 税A可取。
然而，假如原始位置是P6而不是P1，但不是因为政府税收或补贴，而是因为与充分竞争条件的某些其他偏差，比如，因为X商品生产中的垄断条件，这些条件产生与充分竞争条件下征收的货物税A时同样的均衡位置。现在以与货物税A相同的百分比征收商品Y的货物税，比如说50％（称为货物税B），让我们与给政府取得相同收入的所得税（所得税B）比较一下。
在讨论所谓“证明”时所总结出的分析可以重复用于对此项货物税和所得税的分析，并可以达到相同的结论——所得税比货物税更可取，因为在该分析中，可能除了说在初始位置上不存在差别货物税或补贴以外，没有涉及任何有关该位置的性质问题。
然而，图3．3表明，这个结论是错误的。货物税B完全抵消了假设的在生产商品X中垄断的影响；它消除了由与消费者有关的价格比率（包括税收的市场价格比率）和与生产者有关的价格比率（不包括税收的边际收入）之间所产生的偏离。这两个比率正好一致了，其结果是P1成为在初始位置P6时征收货物税B后的均衡位置。另一方面，征收所得税B使两个比率之间的偏差不产生变化，并使P6成为均衡位置。因此，假设初始位置为P6时征收这两种税，则货物税B比所得税B更可取。
结论
到目前为止，读者很可能被诱导认为前述所谓的证明被恢复了名誉，并说它的效力“当然”要依赖于这一假设，即其初始位置是充分竞争的均衡状态，而且，尽管这个“证明”的使用者对没有明确地陈述这一假设井不介意，但他们无疑承认了它的必要性。然而，对这个“证明”的重新检查将表明，没有什么关于初始位置性质的假设会使该证明成为一个对有关经济命题的可靠的证明。所述将得出的结论在初始位置为充分竞争均衡状态时也许是正确的；但是，其论据并没有显示其正确性或为什么正确。所提供的三段论法，即“苏格拉底是人，苏格拉底是X，因此所有的人都是X”，在X代表“必死无疑”而不是代表“希腊人”时，碰巧得出一个正确的“结论”。然而，X代表“必死无疑”的假设不会为该证明提供一个可靠的三段论法。类似的比较也一样：被提出的关于所得税优越于货物税的证明根本不成其为证明；在所谓证明里没有任何步骤依赖于初始位置的特性来决定它的效力；因而，没有任何关于初始位置的“假设”可以把它转换成有效的证明，虽然在该项“证明”里的最后论断可能在某些条件下正确，而在另外一些条件下不正确。
“正确”的分析表明，关于我们所讲的“所得税”和“货物税”对于“福利”的相对效应不可能做出什么一般论断。每件事情都要依赖于这些税收开征时的初始条件。但是，即使这个论断也没有充分表明直接运用该证明结果时的种种局限性。我称作所得税的那个概念和其他论述过这个问题的人一样，与在其名义下实际征收的那些税在性质上很少或没有什么相似之处。后者是一些或多或少有着较大征收范围的重要的货物税，即使是一项在广泛确定的税基上纯粹按比例征收的所得税也不会平等地落到利用现有资源而生产的所有货物和服务上；它不可避免地会漏掉那些不是通过市场生产出来的货物和服务，如：闲暇、家庭活动，等等。因此，它使得消费者能够依以它们来替代可上市货物和服务的比率与在技术上可行的替代比率不同。如果该项所得税税基定义得更窄些，允许免税，或