我们可能天真地区分对数学感兴趣的两种主要方式。一个数学家可能主要对定理——对数学命题的真和假——感兴趣。另一个数学家可能主要对证明感兴趣：对某种定理的证明的存在问题和该证明的特性感兴趣。如果第一种兴趣占优势的话（例如波利耶的兴趣似乎是这种情况），那么，它通常与关心发现数学“事实”相关，并因而与柏拉图式的数学启发法相关。如果第二种兴趣占优势的话，那么，证明就不仅仅是弄清楚关于数学客体的定理的手段，而且它们本身就是数学客体。对我来说，这似乎就是布劳威尔的情况：这些作为证明的构造物不仅仅在创造和确立数学客体，而且同时它们本身就是数学客体——也许甚至是最重要的数学客体。因而，肯定一个定理就是肯定关于这个定理的一个证明的存在，而否定这个定理就是肯定一个反驳的存在，即关于其荒谬性的证明的存在。这直接导致布劳威尔拒绝接受排中律，导致他拒绝接受间接的证明，还导致这个要求；只有用有关的数学客体的实际结构——其制作似乎是可见的——存在才可以得到证明。
这还导致布劳威尔反对“柏拉图主义”，据此我们可能理解这个学说，数学客体具有我称谓的“自主的”存在方式，如果没有我们的构造，它们也可能存在，因而如果没有被我们证明存在，它们也可能存在。
至此我一直在试图理解布劳威尔的认识论，主要依据这样的推测即它产生的根源在于企图解决康德的数学哲学中的困难。我现在着手完成我在这一节标题中宣布过的任务，即对布劳威尔的认识论作出评价和批判。
从本篇论文的观点来看，布劳威尔的一个伟大成就在于，他看到数学——或许我可以补充说第三世界——是由人类创造的。
这一观点是根本反柏拉图的，所以，不难理解，布劳威尔没有看到它可以和一种柏拉图主义相结合。我指的是象我在上面第3节所勾画的数学和第三世界的（部分）自主性的学说。
从哲学的观点上看，布劳威尔的另一项伟大成就是他反形式主义：他认识到数学客体必定在我们可能谈论它们以前就存在。
可是，让我转入批判这一节先前讨论的，布劳威尔对数学哲学的三组主要问题的解决。（1）认识论问题：一般意义上的直觉，特殊意义上的时间理论。
我不打算改变“直觉主义”这个名称。既然这个名称无疑会保留下来，所以，更重要的是放弃那种关于直觉是认识的确实可靠源泉的错误哲学。
不存在任何权威性的知识来源，也没有任何“来源”是特别可靠的。①作为灵感来源的一切，包括“直觉”，都是受欢迎的，尤其如果它们能为我们提出新问题的话。然而，没有任何知识来源是可靠的，而且我们都是难免有错误的。
① 我已经在我的讲演“关于知识和无知的来源”中详细地讨论过这个问题，该讲演构成波普尔1963年著作的导言。
此外，也不能赞同康德对直觉和推理思维的截然划分。无论如何，“直觉”主要是我们文明发展的产物，并且是我们在推理思维方面所作努力的产物。康德关于我们共同具有一种标准的纯粹直觉（动物也许并不具有这种纯粹直觉，尽管它们有类似的感觉素质）的思想，是很难接受的。因为在推理思维中经受训练之后，我们的直觉理解就完全不同予以前了。
所有这些都适用于我们的时间直觉。我本人发现本杰明·李·沃尔夫关于霍皮印第安人②和他们的时间直觉全然不同的报告是令人信服的。即使这个报告是不正确的（我想不大可能），它也指出了康德和布劳威尔不曾考虑过的可能性。如果沃尔夫是正确的，那么我们对时间的直觉理解——我们用以“看到”时间关系的方法——就部分地取决于我们的语言以及其中体现的理论和神话；我们自己欧洲式的时间直觉在很大程度上应归功于我们希腊文明的起源及其对推理思维的强调。
② 参见沃尔夫著作，1996年版，“一个美洲印第安人的世界模式”。
无论如何，我们的时间直觉可能随着我们理论的变化而变化。牛顿，康德和拉普拉斯的直觉不同于爱因斯坦的直觉，并且时间在粒子物理学中的作用不同于在经典场论中的作用，尤其不同于在光学中的作用。粒子物理学提出一个剃刀状的非连续瞬间，即划分过去和将来的“punctum temporis”， 并因而提出由非连续瞬间组成的时间坐标，和一个其“状态”可能对于任何这样的非连续瞬间都是给定的世界。在光学中的情况则不一样。正象在光学中存在空间上连续的栅格，其各部分在相当大的空间距离上配合一样，也存在时间上有连续性的事件（具有频率的波），它的各部分在相当大的时间距离上配合。因而，由于光学，在物理学中不可能存在一瞬间的世界状态。这个论据应该并且确定与我们的直觉有很大的差别：据称是心理学的似是而非地现存的东西既不是似是而非的，也不仅限于心理学范围内，而是真实的并已经出现在物理学中。①
① 参见冈布里奇著作，1964年版，尤见第297页：“如果我们想把这种思想追索到它的逻辑结论，那么punctum temporis甚至不可能看作是无意义的点，因为光具有频率。”（这个论据可以通过考虑边界条件得到支持。）
因而，不仅关于直觉是知识可靠来源的一般学说是神话，而且更重要的是，我们的时间直觉是有待于批判和纠正的，正象我们的空间直觉有待于批判、纠正（按照布劳威尔本人承认的说法）一样。
我把这个重要的论点归功于拉卡托斯的数学哲学，即数学（而不仅仅自然科学）通过批评猜测以及大胆的非正式的证明而发展起来。这一点是以对这些猜测和证明的语言阐述并因而以它们在第三世界的地位为前提的。语言最初仅作为传达对前语言客体的描述的一种手段，后来由此而成为科学事业必不可少的部分，甚至在数学中也是这样，而数学本身又成为第三世界的组成部分。而且语言有许多层次或者等级（不论它们是否用一个元语言的等级来阐述）。
如果直觉主义的认识论是正确的话，数学的能力就会不成问题了。（如果康德的理论是正确的话，我们——更确切地说是柏拉图和他的学派——为什么得花如此长的时间等待欧几里得就是不可理解的了。②）然而这是一个问题，因为甚至许多非常有能力的直觉主义数学家都可能在某些难点上有不同意见，③我们不必去研究不同意见的哪一方是正确的。指出这一点就够了：一旦直觉主义者的构造可能受到批判，提出的问题就只能以一种基本方式通过使用辩论的语言来解决。当然，必须批判地使用语言并不是要我们保证使用直觉主义数学禁用的那些论据（尽管这里存在一个问题，我们将要指出这一点）。我现在的论点仅仅是：一旦已提出的直觉主义数学构造的可接受性受到怀疑——而且它当然值得怀疑——的话，语言就不仅仅是原则上可以省略的交际手段了，更确切地说，它就成了批判讨论的必不可少的中介。因此，它不再仅仅是那种直觉主义的构造，直觉主义的构造“在哪个主体作出构造都无关紧要的意义上是客观的”：④更确切地说，甚至直觉主义的数学也象一切科学一样，其客观性是以其论据的可批判性为根据的，但是，这意味着语言作为论证和批判讨论的中介是必不可少的。⑤
② 参见波普尔著作，1963年版，第2章，附脚注63的那一节，关于康德对牛顿物理学的先验观点的相应评论。
③ 参见S。C。克林尼在克林尼和韦斯莱1965年的著作第176…183页上关于布劳威尔的评论（1951年版，第357…358页），克林尼按照布劳威尔1949年著作第1248页的注释作评论。
④ 海廷语，载于拉卡托斯编的书，1967年版，第173页。
⑤ 参见拉卡托斯著作，1963…1964年版，特别是第229—235页。
正因为这个理由，我认为布劳威尔的主观主义认识论和为他的直觉主义数学所作的哲学辩护都是错误的。构造，批判、“直觉”甚至传统之间有一种互相妥协的关系，而他没有考虑到。
可是，我准备承认，甚至在布劳威尔关于语言的地位的错误观点中也有部分正确的东西。尽管所有科学包括数学的客观性与其可批判性紧紧连在一起并因而与它的语言表达连在一起，布劳威尔在强烈反对这样的观点上却是正确的：数学只不过是一种形式上的语言游戏，或换言之，不存在语言外的数学客体这样的东西，就是说，不存在思想物（或用我的观点更确切地称为思想内容）。如他所坚持的，数学是关于这些客体的谈论，而在这种意义上数学语言与这些客体相比是第二性的。然而，这并不意味着没有语言我们也可以构造数学：没有不断的批判检验，就不可能有构造，而不把我们的构造物置于一种语言形式中并把它们看成为第三世界的客体，就不可能有批判。尽管第三世界并不等于语言形式的世界，但它是与辩论的语言一并出现的：它是语言的一种副产品。这就说明了为什么一旦我们的构造物变得成问题了，系统化和公理化的语言也可能变得成问题，也说明了为什么形式化可能成为数学构造的分支。我想，这就是当迈希尔教授说这话时所指的意思：“当我们的直觉形成我们的形式化的时候，我们的形式化纠正我们的直觉。”①使这个评论特别值得引用的是，既然它是关于布劳威尔直觉主义的证明所做的评论，实际上似乎是对布劳威尔的认识论作了纠正。
① J·迈希尔，1967年版，第175页（着重号是我加的）；亦见拉卡托斯著作（1963…1964年版）。
（2）本体论问题：布劳威尔本人有时也看到，数学客体的存在部分地归功于语言。因而，他在1924年写道：“数学的基础是记号或符号的无限序列或符号的有限序列……。”②这句话不必理解为承认语言的优先：无疑，关键术语是“序列”，而关于序列的思想以时间直觉为根据，而且还以基于这种直觉的构造为根据。然而它表明，布劳威尔意识到要实现构造就需要记号或符号。我自己的观点是，推理思维（即语言论证的序列）最强有力地影响到我们的时间意识，影响到我们的序列直觉的发展。这与布劳威尔的构造主义毫无冲突，但它与其主观主义和唯心主义确实冲突。因为数学的客体现在可以成为客观的第三世界的公民：尽管数学客体本来是由我们构造的——第三世界是作为我们的产物而产生的——但是其思想内容包含它们自己的预想不到的结果。我们构造的自然数列产生了素数——这是我们发现的——而这些素数又造成我们梦想不到的问题。数学发现就是这样成为可能的。再者，我们所发现的最重要的数学客体——第三世界最多产的公民——是问题和新的批判论据。因而，出现一种新的数学存在，即问题的存在，并且也出现一种新的直觉，使我们看出问题，使我们在解决问题以前先理解问题的直觉。（考虑一下布劳威尔本人关于连续统的中心问题。）
② 布劳威尔，1924年版，第244页。
语言和推理思维与更直接的直觉构造物相互作用的方式（附带地说，这种相互作用破坏了绝对显然的确定性的理想，直觉构造被认为是实现了这种理想的），海廷已经用一种非常有启发的方式描述了。我或许可以引用他的开头一段话，从这一段话我得到了激励和鼓舞：“人们已经证明，数学中直觉上清楚明白的东西并非直觉地清楚明白的。甚至有可能构造一个关于明白程度的下降的等级。最高的等级是2＋2=4这样的断语。1002＋2=1004属于一个较低的等级，我们指出这一点，并不是通过实际的计算，而是通过推理。该推理指出，一般说来，（n＋2）＋2=n＋4……＇象这样的陈述＇已经具有一个蕴涵的特性：“如果构造了一个自然数n，那么我们可以达到用（n＋2）十2=n＋4表述的构造。”①在我们现在的上下文中，海廷的“明白程度”是第二位重要的。第一位重要的是他绝妙地简单而又明确地分析直觉构造和语言表述（它必然使我们涉及到推理论证，因而涉及到逻辑论证）之间不可避免的相互作用。海廷继续说的时候已强调了这一点：“这个层次在自由变项演算中形式化了。”
① 参见海廷著作，1962年，第195页。
关于布劳威尔和数学柏拉图主义最后可以说一下，第三世界的自主性是不容否认的，因此必须抛弃布劳威尔的公式“存在=被构造”，至少对于问题来说必须抛弃这一公式。这可能导致我们重新考察直觉主义逻辑问题：如果不放弃直觉主义的证明标准，明显地区分一个论点和它的证据对于批判理性的讨论可能是重要的。但是，这个区分受到直觉主义逻辑的破坏，直觉主义的逻辑产生于证据的合并，或证明的合并，以及待证明的断语。①
① 参见上面第5。4节。
（3'）方法论问题：布劳威尔的直觉主义数学的原动力是可靠性，即寻求比较可靠的证明方法，实际上，是寻求不可错的方法。于是，如果你想要获得更可靠的证明，你就必须更严肃地关心证明论据的可接受性：你必须使用更加软弱的手段，使用更加软弱的假定。布劳威尔本人局限于使用那种比古典逻辑方法更软弱的逻辑方法。②用比较弱的手段来证明一个定理是（而且始终是）一项非常有意思的任务，并且是数学问题的一个重要来源。因此，这是直觉主义方法论感兴趣的问题。
② 这些评论只对直觉主义的逻辑成立，它是传统逻辑的组成部分，而直觉主义数学则不是传统数学的组成部分。亦见克林尼关于“布劳威尔原理”的评论，载克林尼和韦斯莱著作，1965年版，第70页。
然而，我的意见是，这只适用于证明。对于批判来说，对于反驳来说，我们并不需要一种拙劣的逻辑。论证的推理法应该保留薄弱的东西，而批判的推理法则应该是强有力的。在批判中，我们并不希望限于证明不可能的事情：我们