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写作是我的严重缺陷，言语表达的缺陷更严重。我用语言方式来思考比用其他方式更不容易。经常发生这样的事，在经过辛苦的工作后得到完全清楚和满意的结果，但当我试图用语言来表达时，我必须先使自己位于另一个完全不同的智力层面。我必须把自己的想法翻译成和它们不甚配合的语言。因此我在寻求合适的词汇和短语中浪费了大量的时间。我意识到，当突然必须演讲时，经常仅因为言语笨拙而不是因为缺乏清楚认知，使得我的演讲变得非常难懂。这是我生活中的小烦恼。哈达玛自己也写道：
我坚持，当我真正进行思考时，词语在我的头脑中根本不存在。我的情形和盖勒顿完全一样。甚至在读到或听到一个问题后，从我开始思考的那一时刻起每一个词都消失了；我完全同意叔本华所写的：“思想一旦被语言具体化就马上死去”。因为这些例子和我自身的思维模式非常一致，所以才在这里引用。我几乎所有的数学思维都是按照视觉以及非语言的概念进行的，虽然这种思维经常伴随着愚笨并且几乎无用的言语评论，诸如“这件事跟着那件事，而那件事又跟着另一件事”。（我有时在简单的逻辑推导中会用到语言。）还有，我还经常亲身体验到这些思想家把他们思想翻译成语言时所遭遇到的困难。经常的原因就是找不到言语来表达需要的概念。事实上，我时常利用特别设计的图表来计算（参阅彭罗斯和林德费1984，424―34页），这些图表代表某类代数表达式的速记。把这些图表翻译成文字会是非常繁琐的过程，只有在必要向他人仔细解释时才把它当成最后的手段。还有一个相关的观察是，我曾注意到，如在我潜心于数学时，有人忽然要和我交谈，我在几秒钟内几乎不能说话。
我不是说我从来不用语言方式思考，只是我发现语言对数学思维几乎没有用处。其他种类的思维，譬如哲学也许更适合于用言语表达。这大概是为什么许多哲学家抱持一个观点认为，语言是智力或意识思维的根本！毫无疑问，不同的人以不同的方式思考，甚至仅就不同的数学家而言――这是我自己的经验。数学思维的主要倾向可分为解析式和几何式。虽然哈达玛用视觉图像而不用言语描述来进行数学思考，但有趣的是他本人认为自己是用解析的方式思考。至于我自己则是非常倾向用几何方式思考。但是，各个不同的数学家的思考倾向的范围非常广阔。
一旦接受大多有意识思维确实具有非言语的特征――依我看来，基于前面一些理由这个结论是不可避免的――那么也许读者不难相信意识思维也具有非算法的成分！
记得在第九章（443页）我提到一个屡见不鲜的观点，只有具有语言能力的那一半头脑（绝大多数人是左半边），可有意识能力。按照上面的讨论，读者应该很清楚为何我发现这种观点完全不能接受，我不知道总体来说，数学家是否倾向利用头脑之一半比另一半更多；但是毫无疑问，真正的数学思维须有高水平的意识。解析思维主要是在左半脑进行的，而几何思维通常归于右半部，所以可以很合理猜测大量有意识的数学活动实际上发生在右半边！动物意识在结束言语化对意识的重要性这个论题之前，我要讨论早先曾简要提起的问题：非人类动物能否有意识。我觉得人们有时依据动物不能言语来推断它们不具备任何可觉察的意识，而且隐含着反对它们具有任何“权利”。读者容易看出，我认为这种论证是站不住脚的。这是因为很多复杂的（例如数学）意识思维不用言语就能进行。还有右半脑有时被认为只有和黑猩猩一样“少”的意识，亦是因为黑猩猩缺少言语能力（参阅列多克斯1985，197―216页）。
事实上，当允许黑猩猩和大猩猩使用符号语言，而不用正常人类的方式讲话时（它们不能讲话是由于缺少适用的声带），它们是否真正有言语能力引起许多争议（参阅伯拉克摩和格林费尔德的各种文章1987）。不过争议归争议，清楚的是，它们使用这种方法至少在某些基本程度上能互相沟通。依我自己的意见，有些人不承认这方式为“言语”是有点过于吝啬，也许有些人希望借口拒绝让猩猩进入言语俱乐部，因而排除它们进入有意识生物的俱乐部！
先不管语言的问题。有很好的证据显示黑猩猩能有真正的灵感。昆拉德？洛伦斯（1972）描述过一只关在房间里的黑猩猩，一根香蕉悬挂在天花板，刚好使猩猩拿不到，并且在房间其他地方放一个盒子：
这事使得它烦躁不安，它又回到那里去。然后――没有更佳方式可以描述――它原先阴郁的脸忽然“发亮起来”。现在它的眼光从香蕉移到香蕉正下方的空地，从这里移到盒子那里，又移回空地来，再移到香蕉那里去。下一刻，它欢呼了起来，以极其高昂的情绪翻一个斛斗到了盒子旁边去。它把盒子推到香蕉下面，完全确信自己会成功。所有看到这一幕的人都不会怀疑类人猿体验到真正的“灵光一现”。注意，正如当彭加莱踏上公共汽车时所经验的那样，黑猩猩在证实它的思想之前就“完全确信成功在握”。我认为这种判断需要意识。如果我是对的，那么这里就有证据显示非人类动物的确有意识。
有关海豚（及鲸鱼）还产生了一个有趣问题。人们会注意到，海豚的大脑和我们的一样大（甚至更大），海豚还能相互传递极其复杂的声音讯号。也许它们为了于人类尺度或近似人类尺度的某种有别于“智慧”的目的而需要相当大的人脑。而且，由于它们缺乏适于抓拿的手，不能建造我们能鉴赏的这种“文明”。虽然为着同一原因，它们不能写书，但或许它们有时像哲学家，沉思生活的意义以及为何它们在“那里”！它们是否有时通过复杂的水底声音讯号来传递它们的“知觉”呢？我不晓得有任何研究指出它们是否用头脑特定的一边来“言语”并相互沟通。在和施行于人类的“分裂头脑”手术以及所隐含的“自我”连续性这令人困惑的意义相关联的方面，我们应该提到海豚不是整个头脑同时进入睡眠状态4，而是每次只有一半头脑睡着。如果我们能询问它们对意识的连续性有何“感觉”，那将会很有教益！和柏拉图世界的接触我提到过，不同的人似有许多不同的思考方式，而且不同的数学家也以不同的方式思考数学。我记得当我将要进大学研习数学时，以为会发现我未来的数学界同行多少会用和我一样的方式思考。以我在学校的经验是，我的同学思考方式似乎和我很不同，这使得我有点受挫。我本来兴奋地以为：“这下我可以找到很容易交流的同道了！有些人的思考方式比我的更有效，有些人差一些，但是所有人的脑波频率都和我一样。”我大错特错了！我相信，我比以前经验到更多的不同的思考模式！我的思考方式比他人较多几何成分而较少解析成分，但是我其他同事的思考模式有许多其他差异。我对于理解一个用言语方式解说的公式总是感到困难，而我许多同事似乎毫无这种困难。
当一位同事想对我解释一段数学时，通常我的经验是，我必须全神贯注地听，但是对一组词和另一组词之间的逻辑关联几乎完全不能理解。然而，在我脑中会形成一种猜测图像代表他所要传达的思想。这个图像完全是按照我自己的方式形成，而且和我同事所理解的脑中图像关系不大。经过这过程之后，我才能回答。令我相当吃惊的是，我的评语通常被接受，而交谈就以这种方式来回进行下去。在交谈结束时可以很清楚地看出，确实进行了一种真正而正面的交流。然而我们各自呢喃的实际句子似乎只有少数时候能被真正理解！在我成为专业数学家（或数学物理学家）之后这些年，我觉得这种现象比我当大学生时更为显著。也许随着我的数学经验增加，使我更容易猜测他人的解释想表明的意义，也可能使我自己解释事物时更能容忍其他的思考模式。但是在本质上并没有什么改变。
我自己经常感到困惑，按照这种奇怪的步骤如何能沟通。现在我想大胆提出一种解释，因为我认为它可能和我曾讨论过的其他问题有很深的关联。关键在于，人们在讨论数学时不只是传递事实从一个人向另一个传达一连串（偶然的）事实时，第一个人必须把所有事实仔细说明，而第二个人必须一一吸收进去。但是对于数学而言，事实的内容非常少。数学的陈述必须是真理（否则便是谬误！），即使第一位数学家的陈述仅是探索这样一个必要的真理，假定第二位充分理解前者的陈述，那么正是真理本身被传达给第二位数学家。第二位的脑中图像也许在细节上和第一位的图像不同，他们的言语描述也可以不同，但是相关的数学思想则在他们之间共通交流。若不是有趣或高深的数学真理在一般数学真理中寥若晨星的话， 则这类沟通根本不可能。譬如，要沟通像4897×512=2507264这样乏味的陈述，在第一位表达这精确的陈述时，第二位的确必须要能理解前者。但是，对于数学中有趣的陈述，即使描述非常不精确，人们经常仍然能够掌握所要传递的概念。由于数学是精确度最高的学科，这里似乎存在一个佯谬。的确，在书面上为了保证各种陈述既精密又完整，人们必须十分费心。然而，为了传达数学思想（通常利用言语描述），这种精确性有时会先产生抑制作用，而可能需要更模糊的叙述性传递形式。在掌握了观念的实质后再考虑细节。
数学观念如何能用这种方式传递呢？我想只要头脑在感知一个数学观念，它就是和数学观念的柏拉图世界接触。（回想一下，按照柏拉图的观点，数学观念本身是存在的，它存在于柏拉图的理想世界里，只有通过智慧才能接触到，参阅113，182页。）当有人“看见”了一个数学真理，他的意识突破到这个理念世界中去，并与之直接接触 （ “通过智慧来接触”）。
我描述过这种“看见”与哥德尔定理的关系，而它是数学理解的精髓。正是由于每位数学家都有直接通往真理的道路， 他们之间的相互交流才有可能．每一个生物的意识都是通过这个“看见”的过程，来直接感知数学真理。（的确，这种感知的行为时常伴随着“啊，我看到了！”的惊喜！）由于每人都能和柏拉图世界直接接触，他们比人们所预期的更容易进行交流。当进行这种柏拉图接触时，各人在每种情形下所具有的精神图像也许相当不同，但是由于大家直接和同一外部存在的柏拉图世界接触，所以才可能进行交流！按照这种观点，精神总是能够进行这种直接接触。但是每一次只能进行一点。数学的发现包含接触范围的扩展。由于数学真理必须是真理，在技术的意义上讲，并没有实际的“信息”传递给发现者。所有信息一直存在那里。人们只不过是把东西放在一起并“看见”了答案！这和柏拉图自己的观念非常一致，发现（譬如数学）只不过是一种记忆形式！的确，我就经常感到吃惊，因为记不住某人名字和找不到正确的数学概念之间具有相同点。在每一种情形下，所要寻找的概念在某种意义上已经存在我的脑中，尽管尚未发现的数学观念具有更不平常的语言形式。为了使这种观察事物的方式有助于数学交流，人们必须想象，有趣高深的数学观念比乏味平凡的思想更可能存在。这对于下一段猜测性考察具有重大意义。物理实在的一个观点意识如何能在物理实在的宇宙中产生，任何有关的观点至少要包含解决物理实在本身的问题。
例如，强人工智能的观点认为，“精神”通过一个足够复杂的算法体现找到了自身的存在，而这个算法可由物理世界的某物体来执行。而这些实际的物体究竟是什么并没关系。神经讯号、沿着导线的电流、齿轮、滑轮或水管都可做得一样好。算法本身被认为是所有关键之处。但是，对独立于任何特殊的物理体现而“存在”的一个算法，柏拉图的数学观点似乎是必要的。一位强人工智能支持者很难采取不同观点，如“数学观念只存在于精神中”。因为这会导致逻辑循环，为了算法的存在。预先需要精神的存在，而为了精神存在，则预先需要存在的算法！他们也许企图采取这样的论证，即算法可作为一张纸上的痕迹、一块铁上的磁化方向或一台电脑记忆上的电荷位移而存在。但是，这种物质形态自身实际上不具有算法。为了得到算法，它们需要一个解释，也就是必须能对这些形态解码；这就要依赖写这算法的“语言”。为了理解这语言，预先存在的头脑似乎又是必须的，这样我们又回到了出发之处。那么，我们就接受算法处于柏拉图世界中。根据强人工智能的观点，那个世界正是精神之所在。我们现在就必须面对物理世界和柏拉图世界如何相互关联的问题。依我看来，这正是强人工智能对精神――身体问题的说法！既然我相信精神（意识的）不是算法实体，我自己的观点与上述不同。
但是，当我发现在强人工智能和我自己的观点之间有许多共同点时有些受窘。我曾指出，我相信意识和必要真理的感知有密切关联，并因此得以和柏拉图的数学概念世界直接接触。这不是一个算法的过程，我们并不特别关心也许栖息在那个世界的算法。但是根据这个观点，再一次看到精神――身体问题密切关系着另一个问题：柏拉图世界与具有实在物体的 “真实”世界如何相关。
我们在第五章和第六章看到，实际物理世界以惊人方式符合一些非常精密的数学方案（参阅174页的超等理论）。人们经常评论这些精密度是何等不寻常（尤其参阅维格纳1960）。我很难相信光靠随�