学的特征就在这里开始出现。当我们取两个复数w和z的和w＋z的平方模时， 通常不能得到它们各自的平方模的和；还有附加的“修正项”：丨w＋z丨2=丨w丨2＋丨z丨2＋2丨w丨丨z丨cosθ。
此处θ为点z和w对复平面原点所张的角（见图6。9）。（我们知道，一个角的余弦是一直角三角形的“邻边/斜边”比。不熟悉上式的敏捷读者可用第三章引进的几何去直接推导之。实际上，这正是众所周知的“余弦法则”，只不过稍微伪装了一下！）正是修正项2｜w｜｜z｜cosθ提供了量子力学的不同选择间的量子干涉。cosθ的值的范围在…1和1之间。我们在θ=0°时有cosθ=1。这时这两种选择相互加强，使得总概率比单独概率之和更大。我们在θ=180°时有cosθ=…1，这时这两种选择便相互抵消，使得总概率比单独概率之和更小 （对消干涉）。我们在θ=90°时有cosθ=0。
这时得到了一种中间状态，两种概率相加。对于大的或复杂的系统修正项通常被“平均掉了”――因为cosθ的“平均”值为零――我们就余下通常的经典概率的规则！但是在量子水平上这些项提供重要的干涉效应。
图6。9有关两个幅度的和的平方模的修正项2｜w｜｜z｜cosθ的几何。
考虑双缝都打开时的双缝实验。到达p的光子幅度为和w＋z，此处w=A（s，t）×A（t，p）和，z=A（s，b）×A（b，p）。在屏幕的最亮的点我们有w=z（这样cosθ=1），所以丨w＋z丨=丨2w丨2=4丨w丨2为只有一条缝开放时概率｜w｜2的四倍――所以当光子数很大时光强变大到四倍，这与观察相一致。在屏幕的暗的点我们有w=…z（这样cosθ=…1），所以丨w＋z丨2=丨w…w丨2=0；也就是零（对消干涉！），又与观察相一致。在刚好中间的点我们有w=iz或w=…iz（这样cosθ=0），所以丨w＋z丨2=丨w±iw丨2=丨w丨2＋丨w丨2=2丨w丨2给出只有一条缝的强度的两倍（这是经典粒子的情形）。我们在下一节的结尾处会看到如何去实际计算亮、暗和中间的位置。
我们早先考虑过的玻―埃勒―里查德“可计算性现象”也是一个只对在S的有界区域中的初始值而言的效应。还有最后一点必须加以评论。当双缝都开放时，通过t到达p的粒子的幅度确是w=A（s，t）×A（t，p），但是我们不能将其平方模｜w｜2当作粒子“实际”通过上面的缝隙而到达p的概率。这会导致没有意义的答案，特别是如果p是在屏幕上的暗的地方时。但是，如果我们决定“检测”光子是否在t存在，把它在那儿的存在（或不存在）的效应放大到经典的水平，则可用｜A（s，t）｜2作为光子实际到达t的概率。但是这样的检测抹去了波浪状的模式。为了使干涉发生，我们必须保证光子在通过缝隙时仍维持在量子水平上，以使得两个不同途径能共同有贡献并且有时会互相对消。单独的选择途径只有幅度，而没有概率。粒子的量子态这些在量子水平上为我们提供了 “物理实在”的什么图像呢？在这里，一个系统的不同的“选择可能性”必须一直共存，并且用奇怪的复数权重加在一起。许多物理学家本身对是否能找到这样的图像感到绝望。相反地，他们断言，他们喜欢量子力学仅仅为我们提供了计算概率的步骤，而不是物理世界的客观图像的观点。有些人断定量子理论不可能有客观图像――至少没有一种和物理事实相一致。我认为这样的悲观主义是没有根据的。在我们已经讨论到的基础上，采取这种看法无论如何都是不成熟的。我们将在下面讨论某些量子效应更令人吃惊的困惑，进而更全面地了解这种绝望的原因。但是，现在我们暂且更乐观地前进，并接受量子力学告知我们所必须面临的情景。这就是一种量子态所呈现的图像。我们现在考虑一个单独的量子粒子。一个粒子由它的空间位置经典地决定。为了知道它下一步还要做什么，我们还需要知道它的速度（或等效地，它的动量）。在量子力学中，粒子所能到达的每个单独位置都是它所能得到的一个“选择”。我们看到所有的选择必须以复数的权重组合在一道。这一复权重的集合描述了粒子的量子态。标准的做法是用希腊字母ψ（发“psi”的音）表示权重的集合，ψ被认为称作粒子的波函数的位置的复函数。对于每一位置x，波函数都有一用ψ（x）表示的特殊的值，它是粒子处于x的幅度。我们可用单独的ψ来表示整个量子态。我所采取的观点是，粒子所处位置的物理实在的确是它的量子态ψ。我们如何画出复函数ψ呢？一下子将所有的三维空间都画出是有点困难，所以我们先简化一些并假定粒子被限制在一维的线上――譬如说沿着标准（笛卡尔）座标系的x轴上。如果ψ是一个实函数，则我们可以想象和x轴垂直的“y轴”并画出ψ的图（图6。10a）。但是，为了描述复函数的ψ的值，我们在这儿需要一个“复的y轴”――它必须是一个复平面。
我们在想象中可以利用空间的两个维：譬如把空间的y方向当作复平面的实轴，z方向作为虚轴。我们可以把ψ（x）画成在这个复平面（也即是通过x轴上每位置的（y，z）平面）上的一点，这样就可得到一个波函数的精确的图像。这一点随着x的变化而变化，而它的轨迹在空间画出一条绕着x轴附近的曲线（见图6。10b）。我们称这条曲线为粒子的ψ曲线。如果在一指定点x处放置一台粒子检测器，则在该点找到该粒子的概率可由幅度ψ（x）取平方模而得到这正是ψ曲线离开x轴的距离的平方 。
丨ψ（x）丨2，度；但在狭义相对论中，表达式要稍微复杂些。图6。10（a）实变量x的实函数的图。（b）实变量x的复函数ψ的图。
为了画出在所有三维物理空间上波函数的完整的图，五维是必须的：
三维是物理空间，加上画出ψ（x）的复平面的二维。然而，我们简化了的图仍是有助的。如果我们选择沿着物理空间的任一特别的线来考察波函数，我们就可简单地让x轴沿着这线，并临时利用其他两个空间方向来提供所需的复平面。这对理解双缝实验是有用的。正如我前面提到的，在经典物理中为确定粒子下一步怎么走，人们需要知道它的速度（或动量）。在这里，量子力学以显著的经济的方式为我们提供了这些。波函数ψ中已经包含有不同可能动量的各种幅度！（一些不满的读者考虑到我们已经将点粒子的简单的经典图像变复杂了这么多，也许认为现在该是有一点经济的“时候”了！虽然我非常同情这种读者，我得警告他们赶紧将扔给他们的这一些先捡起来，因为后面还有更坏的来临！）如何从ψ来决定速度幅度呢？实际上考虑动量幅度更好。（我们记得动量是速度乘以粒子的质量，192页）。人们所做的是把所谓的谐和分析应用到函数ψ上去。我不可能在这里仔细地解释它，但它和处理乐声有紧密的关系。任何波形都能被分解成为不同“谐音”的和（这就是“谐和分析”术语之来源）。它们是不同音调（亦即不同频率）的纯净的乐音。
在波函数ψ的情形，“纯粹乐音”对应于粒子可能有的不同的动量，而每一“纯粹乐音”对ψ贡献的大小提供了该动量值的幅度。而“纯粹乐音”本身被称作动量态。
动量态在ψ曲线上看起来是什么样子的呢？它看起来像个螺旋，其正式的数学名字叫螺旋线（图6。11）①。卷得紧的螺旋对应于大动量，而几乎不卷的只具有很小的动量。极限情形是根本不卷，而ψ曲线变成直线：
这是零动量的情形。这里稳含有著名的普郎克关系。卷得紧表明短波长和高频率，并因此高动量和高能量；而卷得松表明低频率和低能量，能量E总是和频率v成比例（E=hv）。如果复平面以正常的方法指向，亦即上面给出的按照右手定则的x，y，z描述），那么在x轴正方向上的动量对应于右旋的螺旋（这正是通常用的螺旋）。
不像上面那样按照通常的波函数，而是按照动量的波函数来描述量子态有时更有用。这归结为把ψ按照不同的动量态而展开，从而建立一个新的函数 。这回它是动量 而不是位置 的函数。它的值～（ ）对于每 y y p x p一个p给出了p动量态对ψ的贡献的大小。（p空间称作动量空间。）① 该检测不可以干扰粒子通过t 点。可将许多探测器放置在围绕着s 的其他许多地方，当这些探测器都没有发生卡嗒的声响时，就可推理粒子通过t 点！y y～的解释是，对于每一特别选定的 ，复数～（ ）给出 p p 粒子具有动量p的幅度。图6。11动量态具有螺旋形状的ψ曲线。
在函数ψ和～之间的关系有一个数学术语。这些函数称为相互的 y福里哀变换――这是以法国工程师兼数学家约瑟夫？福里哀（1768―1830）命名的。在此我只对该关系做些评论。第一点是在ψ和～之间 y存在一个显著的对称。我们可以应用在本质上和从ψ得到～的同样的 y的步骤从ψ得到～。现在是对ψ进行谐和分析。而“纯粹乐音”（也 y就是在动量空间表像中的螺旋）被称作位置态。每一位置x在动量空间决定一这样的“纯粹乐音”，而这个“纯粹乐音”对～的贡献的大小决定 y了ψ（x）的值。一个位置态本身在通常的位置空间表像中对应于在一个给定的x值处的非常尖锐的峰，除这一点外任何位置的幅度都为零。这种函数称作（狄拉克）δ函数――尽管由于它在x处的值为无限，从而它在技术上并不是通常意义上的“函数”。同样地，动量态（也即位置表像空间中的螺旋）在动量空间表像中给出δ函数（见图6。12）。这样，我们看到了螺旋的福里哀变换是一个δ函数，而且反之亦然！只要人们要测量粒子的位置，位置空间的描述是有用的。这种测量归结于做一些事情，将不同可能的粒子位置的效应放大到经典的水平。（粗略地讲，光电管和照像底版进行了光子位置的测量。）动量空间的描述对测量粒子的动量有用，这种测量就是将不同的可能的动量的效应放大到经典的水平（反冲效应或晶体的衍射可用于动量测量。）在每种情形下，相应的波函数（ψ和～）的平方模给出了所要测量结果的所要的概率。 y图6。12位置空间中的δ函数变换成动量空间中的螺旋，反之亦然。
在本节结束之前我们再一次回到双缝实验。我们已经知道，按照量子力学，甚至一个单独的粒子都应像波动一样行为。这个波动为波函数ψ所描述。动量态是最“类似波动”的波。我们在双缝实验中摹想具有确定频率的光子；这样光子的波函数是由在不同方向的动量态组成。这些态中的螺旋的螺矩都是相同的，这螺矩又称作波长。（波长由频率所固定。）
每个光子波函数一开始从源s散开来并且通过两个缝隙（在缝隙上不做任何检测）而到屏幕上去。只有波函数的一小部分从这缝隙出来。我们将每一条缝隙当作从该处分别散开来的波函数的新源。这两部分波函数互相干涉。这样，当它们到达屏幕时，在有些地方互相叠加，在另外一些地方互相抵消。为了找到它们在何处叠加和何处对消，我们在屏幕上取点p并考察其到两条缝隙t和b的直线、沿着tp有一个螺旋，沿着bp另有一个螺旋。（我们沿着st和sb也有螺旋，但是假定光源到每一条缝隙的距离相同，则在缝隙处两个螺旋刚好旋转了一样多。）现在，当这些螺旋到达屏幕的p点处旋转了多少得由直线tp和bp的长度决定。当这些长度的差为波长的整数倍时， 则两个螺旋在p点就从它们的轴向同一方向位移 （亦即θ=0°，这儿的θ的意思和上节一样），这样相应的幅度就互相叠加，我们得到一个亮点。当这些长度的差为波长的整数倍加上半波长时，则两个螺旋在p点从它们的轴向相反方向位移（θ=180°），这样相应的幅度就互相抵消，我们得到一个暗点。在所有其他情形下，这两个螺旋到达p时位移间有某一角度，这样幅度就以某种中间的方式相加，我们得到中等的光强（见图6。13）。
图6。13按照光子动量态的螺旋的描述来分析双缝实验。不确定性原理大多数读者都听说过海森堡的不确定性原理。根据这一原理，不可能同时将一个粒子的位置和动量精确地测量（亦即放大到经典的水平）。更糟糕的是，这些精度，譬如分别为△x和△p的乘积有一绝对极限，它由下面的关系式给出△ △ ≥ x p h这一公式告诉我们，位置x测量得越准确，则动量p的测量就越不准确，反之亦然。如果位置被测量到无限精确，则动量就变得完全不确定；另一方面，如果动量被精确地测量，则粒子的位置就变得完全不确定。为了从海森堡关系给出的极限大小得到一些感性认识，假定将一个电子的位置测量到奈米（10…9米）的精度，那动量会变得这样的不确定，以至于人们不能预料一秒钟之后电子是否比100公里还近！一些描述使人相信，似乎这仅仅是测量过程中固有的粗陋。相应地根据这种观点，在刚才考虑的电子的情形下，为了找到它的位置不可避免地赋予了它这等强度的“随机的反冲”，使得电子以海森堡原理所表明的数量级的巨大的速度冲撞。人们在其他的描述中认为不确定性是粒子自身的一个性质，它的运动有一种固有的随机性，这表明在量子水平上它的行为是内在的不可预见的。还有另一种说法认为，量子粒子是某种不可理喻的东西，对此经典位置和动量的概念均不适用。我对这几种看法都不喜欢。
第一种有点误导，第二种肯定是错的，而第三种过于悲观。
波函数的描述究竟告诉了我们什么？首先让我们回忆一下动量态的描述。这是动量被准确指定的情况。ψ曲线为一个螺旋，它离开轴的距离一直是一样的。所以不同位置的幅度都具有相同的平方模。如果要进行位置测量的话，则在任何一点找到该粒子的概率和在任何其他地方一样。粒子的�