叫蔚亩越窍撸云浔叱だ炊攘渴本捅厝怀鱿帧≌飧鍪６杂谙＠叭死此担擞盟闶醯摹�2定律来研究几何量，将几何测量（比）按照整数（比）来表示是很重要的。欧多索斯的基本思想是提供一种以整数表达长度比例的办法（也就是实数）。他依赖于整数的运算提出了决定一个长度比例是否超过另一个比例，或两者是否完全相等的判据。
该思想可概述如下：如果a，b，c和d是四个长度，则断定比例a/b大于比例c/d的判据是：存在整数M和N，使得a增大到N倍超过b增大到M倍，而同时d增大到M倍超过c增大到N倍①。可用相应的判据来断定a/b是否比c/d小。所寻求的使a/b和c/d相等的判据也就是前两个判据都不能满足！
直到十九世纪，狄得钦和韦尔斯特拉斯等数学家才发展出完全精确的抽象的实数数学理论。 但是他们的步骤和欧多索斯早在22个世纪以前已经发现的思路非常相似！我们在此没有必要描述这个现代发展。在第三章第95页我已给出了这个理论的模糊暗示。但是，为了更容易表达，我宁愿在这里用更熟悉的小数展开的方法来讨论实数理论。（这种展开实际是在1585年才由斯蒂文引进的。）必须指出，虽然我们很熟悉小数表达方式，但希腊人却对此无知。图5。3托勒密定理然而，在欧多索斯设想和狄德钦――韦尔斯特拉斯设想之间有一个重大差别。古希腊人把实数设想成按照几何量 （比）的给定的东西，当作 “实际”空间的性质。希腊人用算术来描述几何量是为了要严格地处理这些量以及它们的和与积――亦即古人这么许多美妙几何定理的要素的先决条件。（我在图5。3画出并解释了杰出的托勒密定理――虽然托勒密比欧多索斯要晚许久才发现它――该定理和一个圆周上的四点之间的距离相关，它很清楚地表明了和与积都是需要的。）历史证明欧多索斯判据极其富有成果，尤其是它使希腊人能严格地计算面积和体积。
然而，对于十九世纪尤其是当代的数学家而言，几何的作用已被改变了。古希腊人，尤其是欧多索斯，认为“实”数是从物理空间的几何中抽取出来的东西。现在我们宁愿认为在逻辑上实数比几何更基本。这样的做法还可以允许我们建立所有不同种类的几何，每一种几何都是从数的概念依我看来，它无疑地是属于尝试的范畴之中！
① 尼古拉？伊凡诺维奇？罗巴切夫斯基（1792―1856）是几位独立发明这种和欧几里德几何不同的几何中的一个人。其他人是卡尔？弗里德里希？高斯（1777―1855），菲迪纳德？施维卡德和雅诺斯？波里埃。出发。（其关键的思想是十六世纪由费马和笛卡尔引进的座标几何。座标可用来定义其他种类的几何。）任何这种“几何”必须是逻辑协调的，但不必和我们经验的物理空间有任何直接的关联。我们似乎感知的特别物理几何是经验的理想化（例如，依赖于我们将其向无限大或无限小尺度的外推，参阅第三章第99页）。但是现代的实验已足够精密，以至于我们必须接受 “经验的” 几何的确和欧几里德观念有差别的这一事实 （参阅242页）。
这种经验和从爱因斯坦广义相对论推导的结果相一致。然而，尽管我们的物理世界的几何观点起了变化，欧多索斯二十三世纪之久的实数概念在实质上并没有改变。它对爱因斯坦理论正如对欧几里德理论一样重要。其实，迄今为止它仍然是一切严肃物理理论的重要部分。欧几里德的《原本》的第五部基本上是关于欧多索斯“比例论”的阐述。这对整本书而言是极为重要的。全书首版于公元前300年的《原本》的确必须列为有史以来最具深远影响的著作之一。它成为后来的几乎所有科学和数学思想的舞台。它全部是由一些被认为空间的“自明”性质，亦即清楚叙述的公理出发演绎而来，其中许多重要推论根本不是显而易见的，而是令人惊异的。无疑地，欧几里德的著作对后世科学思想的发展具有深刻的意义。
阿基米德（公元前287―212）无疑是古代最伟大的数学家。他天才地利用欧多索斯的比例论，计算出诸如球体，或者更复杂地牵涉到抛物线和螺线的许多不同形体的面积和体积。今天我们可以用微积分十分容易地做到这些。但是我们要知道，这是比牛顿和莱布尼兹最终发现微积分早十九世纪的事！（人们可以说，阿基米德已经通晓微积分的那一多半――亦即积分的那一半！）阿基米德的论证，甚至以现代的标准看，也是毫无瑕疵的。他的写作深深地影响许多后代的数学家和科学家，最明显的是伽利略和牛顿。阿基米德还提出了静力学的（超等的？）物理理论（亦即制约平衡的物体，诸如杠杆和浮体的定律）。他用类似于欧几里德发展几何空间和固体几何的科学方法，将其发展成演绎的科学。阿波罗纽斯（约公元前262―200）是我必须提及的一位阿基米德的同时代人。他是一位具有深刻洞察力的、伟大的、天才的几何学家。他关于圆锥截线（椭圆、抛物线和双曲线）的研究极大地影响了开普勒和牛顿。
令人惊异的是，这些截线的形状刚好是描述行星轨道所必须的！伽利略――牛顿动力学对运动的理解是十七世纪科学的根本突破。古希腊人对静态的物理――刚性的几何形状或处于平衡的物体（此时所有的力都平衡，因而没有运动）理解得很透彻。但是他们对制约实际运动的物体的定律并没有很好的概念。他们所缺少的是一个好的动力学理论，亦即自然实际上控制物体的位置从第一时刻到下一时刻变化的完美方式的理论。其部分原因（绝非全部）则是没有测量时间的足够精密的手段，亦即没有相当好的“钟表”。
为了给位置变化定时以及确定物体的速度和加速度，人们必须有钟表。因此1583年伽利略观察到摆能作为计时的可靠手段的这个事件对他 （甚至对整个科学！）极具重要性，因为这样一来运动的计时就变准确了4。随着55年后的1638年伽利略《对话》一书的出版诞生了新的学科――动力学――开始了从古代神秘主义到现代科学的转化！
图5。4速度，速率和加速度让我仅仅列举伽利略提出的四个最重要的物理观念。第一是作用在物体上的力决定的是它的加速度，而不是速度。此处“加速度”和“速度”
的含意是什么呢？粒子――或物体上的某点――的速度是该点位置相对于时间的变化率，速度通常是一个矢量，亦即必须同时考虑其方向和大小的量（否则我们用“速率”这一术语，见图5。4）。加速度（又是一个矢量）是速度相对于时间的变化率――这样加速度实际上是位置相对于时间的变化率的变化率！ （这对于古人来说实在太难为了！他们既缺乏可胜任的“钟表”，又不具备与变化率相关的数学概念。）伽利略断言，作用在物体的力（在他的情形下是指重力）制约物体的加速度，而非直接制约其速度――正和古代人例如（亚里斯多德）所相信的不一样。特别是当不存在外力时，速度必须是常数――因此，在直线上作的恒常运动应是没有外力作用的结果（牛顿第一定律）。自由运动着的物体继续其匀速运动，而不必施加外力去维持它。伽利略和牛顿发展的动力学定律的一个推论是，直线匀速运动和静止状态亦即不运动在物理上完全不可区分：不存在一种局部的方法，将匀速运动从静止中区别开来！伽利略关于这点特别清楚（甚至比牛顿还清楚）。他以海上的航船作例子对此作了非常形象的描绘（参阅德拉克1953，186至187页）：
把你和某位朋友关在某艘大船的甲板下的主舱里，和你一道的还有一些苍蝇、蝴蝶和其他飞行的小动物。一些鱼在一大碗水中自由自在地游着；水一滴一滴从悬挂着的瓶子落到下面的一个大器皿里。当船静止时，仔细观察这些小动物如何以同样的速率向船舱的所有方向飞行。鱼儿不辨方向地游着，水滴落到下面的器皿中；……在仔细地观察了这一切以后……让船以你想要的速度行驶。只要其运行是均匀的、并且不让它作这样那样的摇动，你就会发现，不但所有提及的现象没有丝毫变化，而且你根本就不知道船是在行驶，还是在静止不动……正如早先那样，小水滴落到下面的器皿中去，而不向船尾的方向飘去，虽然就在水滴在空气中的时间间隔里，船已经向前走了船身长度好几倍的距离。水中的鱼向前游动并不比向后更费动，同样轻松地向放在碗的任何方向的边缘上的鱼饵游去。还有，蝴蝶和苍蝇毫无异样地继续飞向四方。似乎它们为了避免落后，在空中随着船作长途旅行后感到疲劳，最后聚集到船尾的现象从未发生过！
这个被称为伽利略相对论原理的惊人事实，在使哥白尼观点具有动力学意义上十分关键。尼古拉？哥白尼（1473―1543）（以及古希腊天文学家亚里斯塔哥斯（约公元前310―230）――不要和亚里斯多德相混淆！
――比他早十八世纪）提出了日心说，即太阳处于静止状态，而地球在沿自己的轴自转的同时绕着太阳公转，公转速度为每小时十万公里。为何我们没有感觉到这种运动？在伽利略提出动力学理论之前，这的确是哥白尼观点的深深的困惑。如果更早先的“亚里斯多德式”的动力学观点是正确的话，即在空间中运动的系统的实在速度要影响其动力学行为，那么地球的运动对我们就会有直接明显的效应。伽利略相对论弄清了，何以地球在运动，而同时我们却不能直接感觉到它的原因①。
值得指出的是，在伽利略相对论中，“静止”的概念并无任何局部上的意义。它对人类的空间――时间观念已经具有显著的含义。我们直观的空间――时间图像是，“空间”构成了物理事件在其中发生的舞台。物理对象在某一时刻可处于空间的某一点，在后一时刻可处于同一个，或另一个不同的空间的点。我们想象空间中的点可以从一个时刻维持到另一个时刻。这样，一个物体实际上是否改变其空间位置的说法就具有意义。但是，伽利略相对论指出，不存在“静止状态”的绝对意义；所以，“在不同时间的空间的同一点”的说法是毫无意义的。某一时刻的物理经验的欧几里德三维空间的哪一点是我们的欧几里德三维空间另一时刻的 “同一点” 呢？
没有办法找到。对应于每一时刻我们似乎必须有一个完全“新”的欧几里德空间！ 考虑具有物理实在性的四维空间――时间图就会使这一层意思明了（见图5。5）。不同时刻的三维欧几里德空间的确被分开，但所有这些空间合并在一起构成了完整的四维的空间――时间图。在空间――时间中进行匀速直线运动的粒子的历史是一条直线（称为世界线）。以后在讨论爱因斯坦相对论时我还会回到空间――时间以及运动的相对性的问题上来。我们将发现在那种情形下对四维维数的论证会更加有力。
① 欧多索斯也是两千年以来行星运动的有用理论的首创者。此理论后来由希帕裘斯和托勒密所发展，以后即被称为托勒密系统。图5。5伽利略空间――时间：匀速运动的粒子可用直线标出。伽利略的第三个伟大洞察是开始理解能量守恒。伽利略主要关心物体在重力下的运动。他注意到，如果从一静止状态释放一个物体，则不管它是简单地落下，还是随一个任意长度的摆振动，或是沿着一个光滑斜面滑下，其速率只依赖于它从释放之处下落的垂直距离。正如我们现在所说的，储存于超过地面的高度的能量 （引力势能）会转换成它的运动的能 （只依赖于物体速率的动能）。反之亦然，但总能量既不损失也不增加。能量守恒定律是一个非常重要的物理原则。它不是物理学的一个独立要求，而是我们很快就要讨论的牛顿动力学定律的推论。笛卡尔、惠更斯、莱布尼兹、欧拉以及开尔芬等人几个世纪来的努力，使这一定律的表述越发清晰。在本章的后部以及第七章，我们将要再回到这个问题上来。如果把能量守恒定律和伽利略的相对论原理相结合，我们就能得到更多的相当重要的守恒定律：质量和动量守恒。粒子的动量是它的质量和速度的乘积。火箭的推进即是动量守恒的众所周知的例子之一，火箭往前动量的增加恰好和（更轻的、但是更急速的）废气往后的动量相平衡。枪的后座力也是动量守恒的一个表现形式。牛顿定律的进一步推论是角动量守恒，角动量守恒是描写一个系统的自旋的不变性，地球绕自己的轴自旋以及网球的自旋都是依靠它们的角动量守恒来维持的。组成任何物体的每一个粒子都对该物体的总角动量有贡献，这贡献等于它的动量与它离开中心的垂直距离的乘积。（自旋转物体只要变紧凑，其角速度就会增加，即是其中的一个推论。滑冰者和马戏团高架秋千艺术家经常表演的令人惊叹而熟悉的动作也起源于此。他们经常利用收回手臂或腿的动作使旋转速度自动增加。）在后面的内容中我们将会看到质量、能量、动量以及角动量都是重要的概念。
最后，我应该让读者回顾一下伽利略的先知的洞察力，那就是当大气摩擦力不存在的时候，在重力作用下所有物体都以同一速率下落。（读者也许会回想起他从比萨斜塔上同时释放不同物体的著名故事，）三个世纪以后，正是这一个洞察导致爱因斯坦将其相对论原理推广到加速参考系统，从而为他的非凡的引力的广义相对论提供了基石，这在本章的结尾处将会看到。图5。6矢量加法的平行四边形定律。
图5。7两粒子之间的力是沿着它们之间连线的方向（由牛顿第三定律，B作用到A的力总是和A作用到B的力大小相等方向相反）。在伽利略的创立的令人印象深刻的基础上，牛顿建立了绝顶庄严华美的大教堂。牛顿指出了物体行为的定律。第一和第二定律基本上是伽利略给出的：如果没有�