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孟德勒伯洛特集提供了一个突出的例子。它的美妙和复杂无比的结果既非任何人的发明，也不是任何一群数学家的设计。波兰――美国数学家（兼分维几何的领袖）贝内特？孟德勒伯洛特首先3研究了该集合。他对其中蕴含的美妙的细节并无预先的概念，尽管他知道正在寻找某种非常有趣的东西。的确，当他的第一张电脑画图开始出现时，他的印象是，所看到的模糊的结构只是电脑失误的结果（孟德勒伯洛特1986）！他到了后来才相信集合就在那里。不但我们中的任何一个人都不能完全理解，而且任何电脑都不能指示孟德勒伯洛特集结构的复杂完整的细节。这个结构似乎不仅是我们精神的一部分，其本身也具有实在性。不管选择任一位数学家或任一台电脑去考察该集合，都会发现是对相同的基本数学结构的近似。用哪台电脑去进行计算都不会有真正的区别（假如电脑处于准确的工作状态），除了计算速度和存储与画图能力的差异会导致细节以及产生该细节的速度差别之外。使用电脑和在探索物理世界时使用实验仪器的方法在本质上是相同的。孟德勒伯洛特集不是人类思维的发明：它是一个发现。正如喜马拉雅山那样，孟德勒伯洛特集就在那里！
类似的，复数系统本身具有根本而永恒的实在性，它超越出任何特殊的数学家的精神构想。大致在杰罗拉莫？卡当诺的工作中复数才开始受到赏识。他是生于1501年死于1576年的意大利人，也是正式的医生、赌徒兼占星家（还为基督算过命）。1545年他写了一本重要的影响久远的代数专著《艺术全书》。他在该书中首次提出了一般的立方方程的（以n次方根表达的）解的表达式1。然而，他注意到，在某一类方程具有三个实解的被人们称为“不可约化”的情况下，在他的表达式的某一阶段必须取负数的平方根。虽然他为此深感迷惑，他却意识到，如果允许他取这种平方根，也只有这样，才能表达出全部答案（最后答案总是实的）。后来，1572年拉飞逸？玻姆贝利在他题为《代数》的著作中，推广了卡当诺的结果并开始研究真正的复数代数。
初看起来，这样地引进负数的平方根似乎仅仅是作为工具――为了达1＋z/1＋z2/（1×2）＋z3/（1×2×3）＋…。到特定目的的数学发明――后来人们越来越清楚，从这些东西所获取的比原先所设计的多得多。正如我在前面提到的，虽然复数引进的当初目的是为了使取平方根畅通无阻，后来人们发现作为奖赏，能够求任何其他根式或者解任何代数方程。我们还发现了复数的许多神奇性质，这些我们最初一点儿的征兆也没有。这些性质现存在那里。尽管卡当诺、玻姆贝利、瓦里斯、可提斯、欧拉、温塞尔和高斯具有无可怀疑的远见，这些性质不是由他们以及其他伟大的数学家放在那儿的。这些神奇是他们逐渐揭开的结构本身所固有的。当初卡当诺引进复数时，他根本对接踵而来的许多神奇没有任何一点暗示――而这些神奇的性质后来以不同的人来命名，例如柯希积分公式、黎曼映射定理以及列维开拓性质。这些以及其他显著的事实，正是卡当诺在1539年左右遭遇到的没有做过任何修正的那种数的性质。
数学究竟是发明还是发现？当数学家获得他们的结果时，是否仅仅产生了精神上的复杂构想没有客观实在性，但它们是这样地有力和精巧，甚至于把发明者也愚弄了，并使他们相信这些仅仅为精神的构想是“实在的”？或者数学家实际上是发现现成的真理――这种真理的存在完全独立于数学家的活动呢？我想到了现在，读者会很清楚，至少就复数的这种结构以及孟德勒伯洛特集而言，我执着地坚持第二种而不是第一种观点。但是，情况也许还不像这么直截了当。正如我说过的，在数学中有些东西，用术语“发现”的确比“发明”更贴切得多，正如上面引用的例子。这些正是从结构出来的东西比预先放进的东西多得多的情形。人们可以认为，在这种情形下数学家和“上帝的杰作”邂逅。然而，还有其他情形，数学结构并没有如此令人信服的唯一性。例如，在证明某些结果的过程中，数学家发现必须引进某种巧妙的而同时远非唯一的构想，以得到某种特别的结果。在这种情形下，从构想得出的结果不太可能比起先放进的更多，所以术语“发明”似乎比“发现”更为妥当。这些的确只是“人的作品”。从这种观点看，真正的数学发现一般地被认为比“仅仅”发明具有更伟大的成就和抱负。这种分类法在艺术和工程中是相当熟悉的。伟大的艺术作品的确比不甚伟大者“更接近于上帝”。在艺术家最伟大的作品中，揭示了某种预先的天界存在的①不朽真理，而他们较差的作品可能更随意，但本质上只不过是会枯朽的作品，这种感觉对于艺术家并不稀罕。类似地，在漂亮组织的工程实施中，使用某些简单的预想不到的想法，并得到大量的成果，把这工程描述为发现比发明更妥当。在叙述了这么许多以后，我禁不住感到，在数学中，至少对于其中某些最基本的概念，某种天国的不朽存在的信念比在其他情形下更强烈得多。在这种数学观念中存在比在艺术和工程中强烈得多的令人信服的唯一① “ 拓朴学”有时称作“橡皮膜几何”。在这种几何中实际的距离是无所谓的，只关心对象的连续性质。性和普适性。数学观念可在这样一种超越时间的天国的意义上存在的思想，是在古代（公元前360年左右）由伟大的希腊哲学家柏拉图提出的。
随后这种思想就时常被称为数学柏拉图主义。它以后对我们很重要。
我在第一章用了一些篇幅讨论强人工智能的观点，根据这种观点，假设精神现象可在一个算法的数学观念中找到栖身之所。我在第二章中强调，算法的概念的确是根本的并为“上帝赋予”的思想。我在同一章论证道，这种“上帝赋予”的数学观念应有某种遗世独立的品格。由于为精神现象提供某种天界存在的可能性，该观点是否赋予强人工智能观点某些信任度呢？也许是这样的――我甚至在下面进一步作和这个观点相似的推测。但是，如果精神现象的确可以找到这种一般的归宿，我不相信，这种归宿会是算法的概念。这里需要某种更微妙得多的东西。算法的东西只构成数学中非常狭小和有限的部分的这一事实是下面讨论的重要方面。我们将在下一章看到非算法数学的范畴和微妙之处。注 释1．见孟德勒伯洛特（1986）。我所选取的特殊的放大序列是取自派特根和雷希特（1986）。该书中有许多五彩缤纷的孟德勒伯洛特集的图画。进一步的图解可参见派特根和绍帕（1988）。2．尽我所知，要求对任意实数总存在某种确定其n位数是什么的规则的观点是协调的，虽然不是传统的。尽管这样的一个规则可以是无效的，甚至在一预定的形式体系中根本不能定义（见第四章）。我希望它是协调的，因为这正是我最希望坚持的观点。
3．关于是谁第一个得到这个集，在实际上存在一些争议（见布鲁克斯和马特勒斯基1981，孟德勒伯洛特1989）；但是这一争议本身的存在更加支持了这一集合是被发现而非发明的观点。
第四章真理、证明和洞察数学的希尔伯特规划
什么是真理？我们如何对世界的真伪形成判断呢？我们是否简单地遵循着某些算法？这种算法由于自然选择的强有力的过程无疑地比其他效率更低的可能算法更加优越。或许还有其他探索真理的非算法的途径――直觉、禀性或洞察。这似乎是一个困难的问题。我们的判断是基于感觉数据、推理和猜测的盘根错节的结合。而且，在世间的许多情势中也许并没有何为真何为伪的共识。为了使问题简化，让我们只考虑数学真理。我们如何形成自己关于数学问题的判断或许“某些”知识呢？在这儿事情至少应该是更明了些。关于究竟什么为真什么为伪在这里不应成为问题一一难道会有问题吗？究竟什么是数学的真理呢？
数学的真理是一个非常古老的问题，这可回溯到早期的希腊哲学家和数学家的时代――并毫无疑问地比这还要更早。但是，只有在一百多年前们想要理解的正是这些非常基本的问题。它触及了我们的思维过程在性质上是否完全算法的问题。去应付这些问题是非常重要的。数学在十九世纪下半叶有了伟大的进展，其部分原因在于人们发展了数学证明的越来越有力的方法。（我们在前面提到的大卫？希尔伯特和乔治？康托，还有将要提到的伟大的法国数学家亨利？彭加莱是处于发展最前沿的三位。）数学家在利用如此有力的方法时相应地获得自信心。其中许多方法涉及到去考虑具有无限数目的元素的集合①。 正是由于可能将这样的集合当成实在的“东西”――完全存在的整体，而不仅仅为潜在的存在，使证明经常得到成功。这许多强有力的观念是从康托的高度创造性的无限数的概念中孕育而来的。他利用无限集合系统地发展了这一切。（我们在上一章对此有所领略。）
然而，1902年英国逻辑学家兼哲学家贝特朗？罗素提出其著名的佯谬，完全粉碎了这种自信心。 （康托已预示过这一佯谬，并且它是康托 “对角线删除法”的直系后代）。为了理解罗素的论证，我们首先对把许多集合当作完整的整体来考虑应有些了解。我们可以想象，某些集合是按照一个特殊的性质来表征的。例如，红的东西的集合是根据红性来表征的：就是说唯有当某物具有红性时才属于该集合。这样就允许我们把事情倒过来，按照单独对象也就是具有同一性质的事物的整个集合来谈论该性质。
依照这种观点，“红性”是所有红的东西的集合。（我们还可以认为某一其他的集合就在“那里”，它们的元素为稍微复杂的性质所表征。）这种按照集合定义概念的思想是1884年由具有影响的德国逻辑学家哥特洛伯？弗列格引进的步骤的核心。他可按照集合来定义数。例如，实① 部分地根据齐平纳？德尔？费罗和塔塔格利亚更早的结果。际的数3是什么意思呢？我们知道“三性”是什么性质，但是3本身是什么？现在“三性”是一群对象的性质，也就是一个集合的性质：惟有如果当该集合不多不少有三个成员，则它具有“三性”的特别性质。例如，在特定的奥林匹克比赛中，奖章获得者的集合具有“三性”。还有三轮车的轮子集合。正常三叶草的叶的集合或者方程x3…6x2＋11x…6=0的解的集合。
那么，弗列格关于实在的数3的定义是什么呢？依照弗列格的论点，3必须是一个集合的集合：即所有具有“三性”1的集合的集合。这样，一个集合如果也只有如果属于弗列格集3，才具有三个成员。
为对等集合的总体，这儿对等的意思是讲“具有能一一配对的元素”（用通常的术语也就是“具有同样多的成员”）。数3就是这些集合的一个特例，其中的一个成员可以是包括一个苹果、一个桔子和一个梨的集合。请注意，这和彻屈在78页给出的“3”的定义完全不同。还可以给出其他今日相当流行的定义。
那么，罗素佯谬又是怎么回事呢？它是关于以如下方式定义的集合R：R是一自身并非其元素的所有集合的集合。
这样，R是集合的某一整体；集X属于该整体的判据是集X自身不是它自身的成员。假定一个集合可以实际是它自身的一个成员，这是否非常荒谬？不见得。例如，考虑一个无限集合（具有无限元素的集合）的集合I。肯定存在无限多不同的无限集，这样I自身也是无限的。这样I确实属于自身！
那么，罗素的概念又如何导致佯谬呢？我们问：罗素集合是它自身的一个成员或者不是它的成员？如果它不是它自身的成员，则它必须属于R，因为R刚好包括那些不是自身成员的集合。 这样， R毕竟属于R――这是矛盾。
另一方面，如果R是它的一个成员，那么由于“自身”实际上就是R，它就属于由自身并非其成员所表征的集合中，也就是它根本不是自身的成员――又导致矛盾①！
这种考虑并不轻率。罗素只不过以相当极端的形式利用数学家们正开始在证明中使用的、非常一般的、数学集论的同一类型的推理。事情很清楚地失去了控制，所以去弄清何种推理是允许的，何种是不允许的，应是适当的。很明显，可允许的推理必须没有冲突，而且只有真的陈述才能允许从原先已知的真的陈述中推导而来。 罗素本人和他的合作者阿弗列德？诺斯？怀德海着手发展一种高度形式化的公理和步骤法则的数学系统，野心勃勃地要把所有正确的数学推理翻译到他们的规划中去。他们非常仔细地① 正如卓越的阿根廷作家约格？路易斯？波格斯写道的：“……一位著名的诗人更具发现家而非发明家的品格……”。选择法则以防止导致罗素自己佯谬的那种佯谬的推理类型。罗素和怀德海所完成的业绩是一部纪念碑式的著作。然而，它是非常繁琐的，并且它实际上统一处理的数学推理的类型是相当有限的。我们在
第二章首次提到的伟大的数学家大卫？希尔伯特致力于一个更可行更广泛的规划。它囊括了所有特殊领域的一