分析与解答
首先强调说明两点：
（1）不规则的球不知是轻还是重，一共12个球，因此最后必定是24种可能。
（2）任何时候如果天平相等，那么天平上的球都是标准球，可以作为后续参考球。如果天平不相等，下次称的时候将其中的一部分球交换位置天平保持不变，那么交换的球都是标准球，反之如果天平发生变化则不标准球就在交换的球之中。
为了使读者查看方便，12个球用1~12（数字）进行标识，其中已确定是标准球的号码加括号注明：
第一次｛1＋2＋3＋4｝比较｛5＋6＋7＋8｝
如果相等，第二次｛9＋10｝比较｛（1）＋11｝
如果相等，证明是12球不规则，第三次和任意球比较，12或者重或者轻两种可能
如果｛9＋10｝》｛（1）＋11｝
第三次9比较10，如果9》10并且｛9＋10｝》｛（1）＋11｝证明是9重
同理如果9 同理如果9=10，证明是11轻
如果｛9＋10｝ 第三次9比较10，如果9》10并且｛9＋10｝ 如果9 如果9=10，证明是11重
至此刚好8种可能；
如果｛1＋2＋3＋4｝》｛5＋6＋7＋8｝
第二次｛1＋2＋5｝比较｛3＋6＋（9）｝（关键把其中3，5球的位置交换）
如果相等，证明1，2，3，5，6为规则球，不规则球在4，7，8中（见说明2）
第三次7比较8，如果7=8并且｛1＋2＋3＋4｝》｛5＋6＋7＋8｝证明是4重
如果7 如果7》8，证明是8轻
如果｛1＋2＋5｝》｛3＋6＋（9）｝
证明3，5，4，7，8为规则球，不规则球在1，2，6中
第三次1比较2，如果1=2并且｛1＋2＋5｝》｛3＋6＋（9）｝证明是6轻
如果1》2，证明是1重
如果1 如果｛1＋2＋5｝ 证明不规则球在3，5中（因为位置变化天平变化）
第三次随便比较1与3，如果1=3，证明是5轻
如果1 1》3不可能，因为已经有第一次｛1＋2＋3＋4｝》｛5＋6＋7＋8｝
这样刚好也是8种可能。
同样道理，｛1＋2＋3＋4｝ 同样还是称球的问题，如果12个球你解决了，接着再考虑一下如何解决13个球吧，条件完全相同，13个球中有一个非标准球，仍然是称3次找出来，13个球是称3次的极限了。
分析与解答
有了称12个球的经验，下面就解释得稍微简单一些了，分组方式为4，4，5。
第一次仍然为｛1＋2＋3＋4｝比较｛5＋6＋7＋8｝
如果相等，第二次｛9＋10＋11｝比较｛（1）＋（2）＋（3）｝
如果相等证明不标准球是12或者13
第三次比较1和12，如果1》12，证明是12轻
如果1 如果1=12，证明不标准球是13
如果｛9＋10＋11｝》｛（1）＋（2）＋（3）｝，则说明不标准球在9，10，11中且为重
第三次9比较10，如果9=10，证明是11重
如果9 如果9》10，证明是9重
如果｛9＋10＋11｝ 第三次9比较10，如果9=10，证明是11轻
如果9 如果9》10，证明是10轻
如果｛1＋2＋3＋4｝》｛5＋6＋7＋8｝
第二次｛1＋2＋3＋5｝比较｛4＋（9）＋（10）＋（11）｝
如果相等，证明不规则球在6，7，8中且为轻
第三次6比较7 如果6=7证明是8轻
如果6 如果6》7，证明是7轻
如果｛1＋2＋3＋5｝》｛4＋（9）＋（10）＋（11）｝
证明不规则球在1，2，3中且为重
第三次1比较2，如果1=2证明是3重
如果1》2，证明是1重
如果1 如果｛1＋2＋3＋5｝ 证明不规则球在4，5中（因为位置变化天平变化）
第三次1比较4即可，如果1=4证明是5轻
如果1 1》4的情况不成立
同样｛1＋2＋3＋4｝ 只许称一次
一袋一袋的洗衣粉堆成10堆，9堆洗衣粉是合格产品，每袋1斤。惟独有一堆份量不足，每袋只有9两。从外形上看，看不出哪一堆是9两的。用台称一堆一堆去称吧，称的次数比较多。有人找到一个办法，只称了一次，就找到了9两的那一堆。这是个什么办法呢？如果有40堆洗衣粉，其中有一堆是9两一袋的，那么要称几次才能找出这一堆？
分析与解答
此题需利用乘法口诀的特点。一个数乘以9，乘积中的个位数，没有相同的数：0´；9=0，1´；9=9，2´；9=18，3´；9=27，4´；9=36，5´；9=45，6´；9=54，7´；9=63，8´；9=72，9´；9=81。称洗衣粉就要用到这个特点。
将10堆洗衣粉编上号码：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。从第1堆取一袋洗衣粉，从第2堆取两袋，从第3堆取三袋，……，从第9堆取九袋，第10堆不取。把取出来的洗衣粉用秤称一下，只注意总重量几斤几两的两数，如果是3两，就知道第7堆是9两一袋。
如果有40堆，就要称3次。第一次先从20堆中每堆中取出一袋一起称。如果重量是20斤，说明9两的那堆在剩下的20堆中。不然，就在这20堆中。第二次再从包含9两一堆的20堆中选取1堆，每堆取一袋在台称上称。从重量是否10斤，就可以确定9两一堆的在哪10堆中。第三次，将包括9两一堆的10堆按照前面的办法称一次，就确定了哪一堆是9两的。
第2章 数学趣题解析2。 游戏中的分配问题
我们经常遇到一类分配物品的题目，在这类题目中，将一些物品分给几个人，每个人都得到整数个物品。而在有些题目中，经常出现有的人得到分数个物品的情况，而此物品又是不可分割的，这就容易使人迷惑。其实，在解答这类问题时，如果我们能换个思维方式，尝试一下逆向思维，往往能有惊奇的发现。
分月饼
中秋节到了，班级里买回了一箱月饼准备分给同学们。第1个同学取走了1块月饼和剩余月饼的1/9，第2个同学取走了2块月饼和剩余月饼的1/9，第3个同学取走了3块月饼和剩余月饼的1/9，第4个同学取走了4块月饼和剩余月饼的1/9，依次类推，把全部月饼一点不剩地分配给了全部同学。
请问班级共有多少个同学，共有多少块月饼？
分析与解答
此题需逆向思考。
最后一个同学取走的月饼数目应与全班的人数相同。他前面一个同学取走全班人数减1块月饼和剩余月饼的1/9。由此可知最后一个同学得到的是剩余月饼的8/9。即，在最后一个同学取月饼的时候，剩余月饼应是8的倍数。
假设最后一个同学取走的是8块月饼。那么，全班共有8个同学。第7个同学取走7块月饼再加上剩余9块月饼的1/9共8块月饼。第7、第8个同学一共取走16块月饼，这应该是第6个同学取走6块月饼后剩余月饼的8/9。我们可以得到第6个同学取走6块月饼后剩余的月饼数为16/（8/9）=18。第6个同学取走的月饼数为6＋18/9＝8。
第5个同学取走5块月饼后剩余月饼的8/9为8＋8＋8=24块。则第5个同学取走5块月饼后剩余的月饼数为24/（8/9）=27块。第5个同学共取走5＋27/9=8块月饼。
第4个同学取走4块月饼后剩余月饼的8/9为8＋8＋8＋8 =32块。则第4个同学取走4块月饼后剩余的月饼数为32/（8/9）=36块。第4个同学共取走4＋36/9=8块月饼。
第3个同学取走3块月饼后剩余月饼的8/9为8＋8＋8＋8＋ 8=40块。则第3个同学取走3块月饼后剩余的月饼数为40/（8/9）=45块。第3个同学共取走3＋45/9=8块月饼。同样，第2、第1个同学也分别取走8块月饼。
综上所述，每个同学都取走8块月饼。因此，共有8个同学，64块月饼。
分苹果
小咪家里来了5位同学。小咪的爸爸想用苹果来招待这6位小朋友，可是家里只有5个苹果。怎么办呢？只好把苹果切开了，可是又不能切成碎块，小咪的爸爸希望每个苹果最多切成3块。这就成了又一道题目：给6个孩子平均分配5个苹果，每个苹果都不许切成3块以上。
小咪的爸爸是怎样做的呢？
分析与解答
苹果是这样分的：把3个苹果各切成两半，把这6个半边苹果分给每人1块。另2个苹果每个切成3等份，这6个1/3苹果也分给每人1块。于是，每个孩子都得到了一个半边苹果和一个1/3苹果，6个孩子都平均分配到了苹果。
半张唱片
张三和李四都热衷于解难题，他们的最大乐趣就是彼此用难题难住对方，或难倒他们的朋友。
有一次，张三和李四经过一家唱片店。
这时，张三问李四：“你是不是还有西部乡村音乐的唱片？”
李四说：“没有了，我把我唱片的一半和半张唱片给了小赵。”
李四接着说：“然后我把我剩下的另一半，加上半张给了小吴。”
李四：“这样我就只剩下一张唱片了，如果你能告诉我原先我有几张唱片，我就把这最后一张送给你。”
张三真的被难倒了，因为他实在想不出这半张唱片有什么用处！
你能帮他解决这个难题吗？
分析与解答
此题很容易使人掉入东西的一半再加上1/2，不可能等于一个整数的陷阱里。
如果走入这个迷宫，就难见天日了！
这题的关键在于：奇数唱片的一半，再加上半张唱片，正好是个整数。
由于李四最后一次送出唱片后剩一张。他在给小吴1张之前，至少有3张。3的一半是，加上1/2等于2，所以李四最后送出了2张。现在很容易倒算回去，他原先有7张唱片。
第2章 数学趣题解析3。 数字问题
猜数字…1
一个教逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生都非常聪明。
一天教授给他们出了一个题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个正整数，且某两个数的和等于第三个。（每个人可以看见另两个数，但看不见自己的。）
教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能。
问第二个，不能。
第三个，不能。
再问第一个，不能。
第二个，不能。
第三个：我猜出来了，是144！
教授很满意的笑了。请问你能猜出另外两个人的数吗？请说出理由！
分析与解答
答案是：36和108
思路如下：
首先，说出此数的人应该是两数之和的人，因为另外两个加数的人所获得的信息应该是均等的，在同等条件下，若一个推不出，另一个也应该推不出。（当然，我这里只是说这种可能性比较大，因为毕竟还有个回答的先后次序，在一定程度上存在信息不平衡）
另外，只有在第三个人看到另外两个人的数是一样时，才可以立刻说出自己的数。
以上两点是根据题意可以推出的已知条件。
如果只问了一轮，第三个人就说出144，那么根据推理，可以很容易得出另外两个是48和96，怎样才能让老师问了两轮才得出答案了？这就需要进一步考虑：
A：36（36/252）B：108（108/180）C：144（144/72）
括弧内是该同学看到另外两个数后，猜测自己头上可能出现的数。现推理如下：
A，B先说不知道，理所当然，C在说不知道的情况下，可以假设如果自己是72的话，B在已知36和72条件下，会这样推理——“我的数应该是36或108，但如果是36的话，C应该可以立刻说出自己的数，而C并没说，所以应该是108！”然而，在下一轮，B还是不知道，所以，C可以判断出自己的假设是假的，自己的数只能是144。
猜数字…2
老师从1~50之间（大于1小于50）选了两个自然数，将两数之积告诉同学P（Product），两数之和告诉同学S（Sum），问两位同学能否推出这两个自然数？
S说：我知道你不知道这两个数，但我也不知道。
P说：我还是不知道。
S说：我知道这两个数啦！
P说：我也知道啦！
其他同学：我们也知道啦！
……
问：老师选出的两个自然数是什么？
分析与解答
说话依次编号为S1，P1，S2，P2。
设这两个数为x，y，和为s，积为p。
由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s29，那么P拿到29´；（s…29）必定可以猜出s了。所以和s为｛11，17，23，27，29｝之一，设这个集合为A。
由P1，乘积p必定含有因子2，而且含有两个质因子，而且最大的质因子不可能大于7，（假如含有因子11，就会有p至少是11´；2´；3，拆成11´；6或者22´；3不满足条件，假如含有因子13，就会有p至少是13´；2´；3，拆成13´；6或者26´；3也不满足条件），这条规则有助于简化和s的拆分。
（1）假设s=11。
11=2＋9=5＋6，有18=2´；9=3×6，只有2＋9落在集合A中，P不会说出P1。而30=5´；6=2´；15，11和17都落在集合A中，所以只有这一种情况会令P说P1，所以S拿到11可以断言S2。但是问题在于P会说出P2的话，必须要s=17时S说不出S2才行。
下面看看s=17的情况，17=2＋15=3＋14=5＋12=7＋10= 8＋9，由于p=2´；15=5´；6或p=3´；14=2´；21都会令P说出P1，所以s=17时S说不出S2。
所以s=11，p=30，这两个数是5和6的时候满足条件
（2）假设s=23，
23=2＋21=3＋20=5＋18=8＋15=9＋14，由于p=9´；14=6´；21或p=3´；14=2´；21都会令P�