地的种类多一些。如果考虑昆虫，那差别就更加显著了——试想一下一个赤道雨林中会有多少种昆虫。（这个数目一直被认为很大，而最近的估计又大大地增加了。从史密斯尼安研究所（ SmithsonianInstitution）的特里·爱尔温（Terry Erwin）的研究开始，科学家们作了这样一些实验，也就是将雨林中一棵树上的昆虫全部杀死，并收集起来。结果发现，昆虫的种类比以往所估计的数目要多10 倍，而且其中许多种类是第一次被发现。）
除物种之外，你还可考虑其他因素。生态学家们常常还要考虑森林中各种生物之间的相互作用，比如食肉动物与被捕食动物之间，寄生物与寄主以及授花粉者与被授者等等之间的关系。粗粒化
那么，他们会考虑到什么层次的细节问题呢？他们会去注意微生物、甚至病毒吗？除了考察明显的相互作用，他们还要考虑极微弱的相互作用吗？显然，他们会在某个地方打住，而不可能无穷尽地追究下去。因此，定义复杂性时，有必要指出对系统的描述要达到什么样的精细度，而更小的细节可以被忽略。物理学家称这为“粗粒化”（ coarsegraining）。这样一个名词可能源于呈颗粒状的照片。当一个照片中的细节太小，看不清楚，而需要放大许多倍时，放大的照片上会显示出一些单个的颗粒。这时照片上只有若干个点来表示一个很粗糙的像，而不再有清晰的细节。安东尼奥（M。Antonioni）的电影（放大》（Blow－Up）指的就是这样一种扩放。一个照片的颗粒状态显示出它所能提供的信息数量。如果胶片呈明显的颗粒状，那么整个照片就只能粗略地反映出所拍摄的物体，显示出非常粗糙的颗粒化。如果一个侦察卫星拍下了一件以前所不知道的“复杂”武器的照片，那么它的复杂性的程度将与照片的颗粒状有关。确立了粗粒化的重要性之后，我们还面临着怎样定义所研究系统的复杂性的问题。例如，一定数量的人（姑且说N 个人）之间的简单或复杂的通信方式的特点是什么呢？当一个心理学家或研究组织的学者想要比较N个人在各种不同通信条件下解决问题的好坏或快慢时，就存在着这样的问题。一个极端情形（我们不妨称之为A 情形）为，每个人独立工作，彼此之间没有任何通信。另一个极端情形（称为F 情形）是，每个人都可以随便与任何其他人通信。A 情形显然很简单。那么F 情形是比它复杂得多，还是几乎与它一样简单呢？
至于细节的层次（粗粒化的程度），我们假定所有的人都被认为是相同的，没有任何个性。我们在图中用点来简单地表示他们，而且点的位置也不重要，所有的点都是可以互相交换的。任何两个人之间的通信要么是允许的，要么是禁止的，而没有什么模棱两可的状态。每两者之间的通信用连接该两点的线来表示（线没有方向性）。这样得出的图就是数学家们所称作的“无向图”（undirected graph）。
有了这种方法来定义细节的层次，就可以研究一种连接方式的复杂性是什么意思了。首先我们考虑点数很少的情形，比如8 个（N＝8）。这时我们可以容易地画出一些连接方式，包括一些无足轻重的。图3—2 表示出8 个个体中可能存在的一些通信方式。在A 情形下，任何两点之间都没有连线。在B 情形下，某些点之间有连线，但有的点与任何其他点之间都没有连线。在C 情形下，每个点都有连线，但不是任意两点之间都有连线。在D 情况下，所有的连线是C 情形下所没有的，而C 情形下的连线又是D情形中所没有的。我们可以称D 为C 的互补物，反之亦然。同样，E 与B也是互为补充的。F 与A 也是：A 情形中没有连线，而F 情形中有着所有可能的连线。那么，哪种模式更复杂呢？
每个人都会同意没有连线的A 模式简单，B 模式中有一些连线，因而比A 模式复杂或不如A 模式简单。其他模式又怎么样呢？一个很有趣的情形是关于F。对F 模式的第一印象可能是，它是所有模式中最复杂的，因为它的连线最多。但这种判断合理吗？所有点之间都有连线的性质与没有任何连线的性质难道不是一样的简单吗？或许F 与A 一样，位于复杂性等级的最底端。
这样的推理使我们想起当初这样一个设想，即至少有一种定义复杂性的方法，那就是使用描述长度（the length of its descrip… tion）的概念。这样一来，F 模式确实与它的互补模式——A 模式，一样简单，因为“所有点之间都有连线”与“所有点之间均无连线”两种描述有同样的长度。而且E 的复杂性与它的互补物之复杂性也并无多大区别，因为加上“互补物”一词没有使有关的描述显著变长。对于D 模式与C 模式，也是如此。总的来说，互补的模式有着近乎相同的复杂性。
B 模式和E 模式明显比A 模式与F 模式复杂，C 模式与D 模式也是如此。B、E 模式与C、D 模式之间的比较则要复杂一些。以描述长度这一简单的标准来看，C、D 模式似乎更复杂，但是否的确如此，在一定程度上与用于描述的语言有关。
在进一步讨论关于复杂性与描述长度有关这一观点之前，有必要指出，我们在前面用来表示人们之间通信方式的图表也可以用于另外一种情形，一种如今对科学、技术及商业均有着重大意义的情形。目前，计算机科学家们在研究与使用一种新型的“并行处理”（parallel processing）计算机方面取得了很大的进展，这种新型计算机在解决某些特定问题方面比传统计算机更加有效。不像单个的大型计算机那样，连续不断地解决一个问题，直到完成为止，并行处理使用一批小型计算单元，这些单元同时运行，其中某些单元之间以一定的通信模式连接着。这里，你可能又会问到，这样一种通信联系方式比另一种更复杂，意味着什么呢？事实上，问我这个问题的是一位正在设计并行处理计算机的物理学家，他重新引起了我对复杂性定义问题的兴趣。前面我们考虑了通过计算物种、相互作用等的数目来定义简单与复杂的生态群体的可能性。譬如，如果一个群体中各种各样的树都被列出来了，那么这一部分描述的长度与树种数是大致成正比的。因此，在这种情形下，描述长度也能有效地用作衡量复杂性的尺度。对背景的依赖性
如果复杂性用描述长度来定义，那么它还显然不能描述事物的固有特性。因为，描述长度与作这一描述的人或物有关。（这使我想起詹姆士·瑟伯尔（James Thurber）的小说《田野中的玻璃》（ Tne Class in the Field）。小说里一只金翅雀向其他鸟作了一个关于与玻璃相撞的简要描述：“我在飞越一块草地的时候，突然空气在我身上结晶了。”）任何关于复杂性的定义都不可避免地与特定背景有关，它甚至是主观的。当然，系统描述的精细度本身就已经有几分主观性了——它依赖于观察者或观察设备。那么，实际上，我们正在讨论一个或更多的依赖于一个系统对另一个系统的描述的复杂性的定义，这里，施行描述的系统假定为一个复杂适应系统，它可以是一个人类观察者。为了现在的目的，我们不妨假定描述系统就是人类观察者。
为了使描述长度的概念更加精确，我们应该避免通过显示某一事物来对它进行描述；很显然，显示一个复杂适应系统与显示一个简单系统一样地容易。因此，我们只关心以通信的方式被传递给远处某个人的描述。同样，我们也可以很容易地给某个相当复杂的物体取名为“山姆”或“朱蒂”，从而使得对它的描述大大变短。因此，用于描述的语言必须是事先为大家所公认的，不能为描述而新造一些术语。当然，即便如此，这里也仍然存在着多种随意性与主观性。描述长度将随所使用的语言以及通信者对他们所共享之世界的了解与理解的不同而不同。例如，在描述一头犀牛时，若双方都知道什么是哺乳动物的话，那么关于犀牛的信息就可以缩短。如果要描述一个小行星的轨道，那么双方是否都懂得牛顿引力定律和牛顿第二运动定律，将产生很大的差别——双方是否知道火星、木星与地球的轨道，对描述长度也很重要。简洁性和原始复杂性如果由于一些无用的字、词而使得一个描述很长怎么办呢？我想起了这样一个故事，一个小学教师给她的学生布置家庭作业，要求他们写一篇300 字的作文。有个学生由于整个周末都用于玩耍，没有做作业，结果他在星期一的早上写了这么一段：“昨天晚上，邻居家的厨房里着火了，我把头伸出窗外，大喊，‘起火了！起火了！起火了！？？’”这个小孩将“起火了”重复了很多遍，直到凑足了300 字为止。然而，如果没有300字这一要求，小孩就会写“叫了90 多遍‘起火了’”来表达同样的意思。因此，在讨论复杂性的定义时，我们关心的是用来描述系统的可能的最短信息的长度。
下面几点可以概括起来作为“原始复杂性”的定义：用双方事先共享（且彼此均知道共享这一事实）的语言、知识及理解，将一个已知粗粒化程度的系统描述给远处某人时，所用最短消息的长度。某些用来描述系统的常见方法是产生不出最短消息的。例如，如果我们将系统的各个部分（比如汽车的部件或人体的细胞）分开描述，并讲述这样一些部分怎样组成一个整体，那么，我们忽略了许多压缩消息的机会。在那些机会中，我们可以利用各部分之间的相似性。例如，人体中的大部分细胞有着相同的基因，并有很多其他的共同特征，而同一个组织中的细胞则更加相似。最短的描述应将这些因素考虑进去。算法信息量
某些信息论专家使用一个与原始复杂性极其相似的量，不过他们的定义更专门化，而且自然而然地牵涉到计算机。他们拟想出一个具有给定粗粒度的描述，这个描述用一种给定的语言来表示，然后再用某种标准编码程序译成一串0 和1。每个被选的数1 或0 被称为一个“比特”（bit）。（本来，比特是“二进制数”的缩写，说其为二进制的，是因为只有两种可选的数字，而对通常的十进制数来说，则有10 个：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。）他们关心的是那个比特串或“消息串”（message string）。他们定义的量称为“算法复杂性”、“算法信息量”（algo…rithmicinformation content）或“算法随机性”。当今，“算法”（algorithm）一词指的是一种计算规则，通过意义的延伸，又可以指一个计算程序。下面我们将会看到，算法信息量指的是一种计算机程序的长度。本来，算法一词的意思不是这样的。这个词听起来像是出自希腊语“算术”（arithmetic）一词，但事实上，那只是个假象。“algorithm”中的“th”是由“arithmetic”中的“th”类推而被插入的，实际上它本不属于那里。一个更能反映语源的拼写应该是“algorism”，它是一个人的名字，正是通过这个人所写的书，“零”才被首次引入到西方文化中。他就是9 世纪的阿拉伯数学家穆罕默德·艾宾·穆沙·阿尔花拉子模（MuhammadibnMusa al…Khowarizmi）。这个姓表明，他的家族来自咸海南边花拉子模地区，现为新近独立的乌兹别克斯坦共和国的一部分。他写了一篇数学论文，题目中包含“阿尔加布”（ aljabr）这一阿拉伯的词，意为“移项”，我们现在的“代数”一词就出自这里。最初，“algorism”（计算）一词指的是十进制法，人们认为它主要是通过将阿尔花拉子模的“代数学”翻译成拉丁文而由印度传入欧洲的。
算法信息量（AIC）是本世纪60 年代由三个创始者各自率先使用的。三个人中，一个是伟大的俄罗斯数学家安德里·N·柯尔莫哥洛夫（AndreiN． Kolmogorov），一个是当时只有 15 岁的美国人格里高里·蔡廷（GregoryChaitin），还有一个也是美国人，叫雷·索洛莫洛夫（Ray Solomonoff）。每个人都是假想一个理想的多功能计算机，它可以存贮无限大的信息量（或者信息存贮量有限，但可随需要而任意扩充容量）。这个计算机配备有特殊的硬件和软件。然后他们考虑一个特殊的信息串，并寻求一个计算程序，使计算机打印出这一信息串，随后停机。一个最短的程序的长度就是该信息串的AIC。
我们已经看到，源于粗粒化和用来描述系统的语言等因素的主观性或随意性，是原始复杂性之定义所固有的。在AIC 中，又产生了附加的随意性来源，即用来把对系统的描述转化为一个比特串的特殊编码程序，以及与计算机有关的硬件和软件。
数学信息理论家们并不担心这种随意性，因为他们通常只关心一些极限情形，在那些极限情形下，有限的随意性就变得不那么重要了。他们喜欢考虑一些相似而长度渐增的比特串，研究在长度趋于无限大的过程中，AIC 如何变化。（这使我想起来，计算机科学家们如何喜欢处理大小递增并趋向无穷的一系列相似问题的计算复杂性。）
让我们回到理想化并行处理计算机问题上来，这样一个计算机由一些计算单元组成。我们用点来表示这些单元，用线表示这些单元之间的通信连接。这里，柯尔莫哥洛夫、蔡廷和索洛莫洛夫是不会对仅8 个点中各种可能的连接方式的AIC 感兴趣的。他们关注的是当N 趋向无限大时，N 个点中的连接情况。在这种情况下，由于使用某个计算机而不是另一个，使用某种编码程序而非另一种，使用一种语言而不是另一种等等所造成的差异，而导致AIC 方面的某些差别（例如，最简单的连接方式与最复杂的连接方式之间的差异），相形之下都不那么重要了。一个信息理论家关心的是某个特定的AIC 是否随N 趋向于无穷而不断增长，如果是，增长的快慢如何。他或她不怎么关心某个AIC 与另一个AIC 之间由于系统描述中的�