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二、洛仑兹变换与仿洛仑兹变换的数学推导
在讲授相对论的教材中，人们都试图借助某种假定的数理模型来推导出洛仑兹变换。其实，洛仑兹变换的数学推导并不需要借助任何实际的物理参量。正如伽利略变换的数学推导也不需要借助任何实际的物理参量一样，它们都可以根据数学本身所遵守的运算规则推演出来。
由于：
x ＝ x … vt ＋ vt
令：
x′＝ x … vt 、 t′＝ t
则有：
x ＝ x′＋ vt ＝ x′＋ vt′
这即是标准的伽利略变换式子，其中的x 、x′和v 、t可以是任何参量。例如令：x＝鸡蛋、v＝石头、t＝棍棒，那么x′就是鸡蛋和石头、棍棒三者的运算组合：
x′＝ 鸡蛋 － 石头×棍棒
虽然〃鸡蛋－石头×棍棒〃 不具有合理的物理意义，但将它带入x ＝ x′＋ vt式子中，x 与x′之间的变换在数学运算上都始终保持成立。
由于：
令：
这即是标准的洛仑兹变换式子，其中的x 、x′、 t 、t′、v 、c可以是任何参量或复合式子。只要v＜c ，洛仑兹变换在数学运算关系上都始终保持成立。譬如，只要将x 、x′、t 、t′分别替换成x…x0 、x′… x0′、t…t0 、t′… t0′，即可得到含有初始项的洛仑兹变换式子：
其中，新增加的x0 、x0′、t0 、t0′也可以是任何参量或复合式子。只要v＜c ，含有初始项的洛仑兹变换在数学运算关系上都始终保持成立。
在电动力学教材中，人们一般是从线性变换的数理分析方式来推导出洛仑兹变换。因而使得人们误以为洛仑兹变换似乎不是人为提出的自然法则。其实，当人们把质点的位置坐标及其相应的时刻以线性变换的方式进行联系之时，就已经认为自然界中的存在物在两个相互做相对运动的参照系中呈现的空间位置及其相应的时刻，要遵守与时刻、空间位置一道关联的某种变换关系了。
譬如，下列的变换式子
就是一组与洛仑兹变换十分相似的另一种变换公式，且称之为仿洛仑兹变换，也可以将它假设为自然界中的存在物在两个相互做匀速直线运动的参照系中呈现的空间位置及其相应的时刻都要遵守的自然法则。请注意，虽然仿洛仑兹变换可以通过引入虚光速概念从洛仑兹变换推导出来，但那不是正确的推导方式。事实上，洛仑兹变换也可以通过引入虚光速概念从仿洛仑兹变换推导出来。自然世界不存在虚光速，无论是洛仑兹变换还是仿洛仑兹变换，都不是通过引入虚光速从别的变换推导出来的结果。
这才是仿洛仑兹变换的数学推导过程。无论是洛仑兹变换，还是仿洛仑兹变换，它们本身都与参照系无关。当人们把洛仑兹变换或仿洛仑兹变换赋予坐标变换的物理意义之时，两个参照系之间无论是以何种方式进行联系，这两种变换都保持成立！
在原理上，洛仑兹变换与仿洛仑兹变换是不相容的对抗理论，它们之中必定有一个是错误，或是二者都错误。由于洛仑兹变换与光速不变假设相容，仿洛仑兹变换与光速不变假设发生矛盾，光速判决实验将使二者之中必须被否定掉一个。
爱因斯坦试图通过引入虚时间来回避这其中的相互矛盾，只能认为是很无奈的搪塞之法。
三、相对论的建立思路
对物理学理论来说，与实验定律一致是真理的唯一标准。
人们只要在赋予这些始终保持成立的数学变换关系具体的物理意义之时对其作出检验，能够准确描述物体运动状况的数学公式就是正确的物理学定律，不能够准确描述物体运动状况的数学公式则不属于物理学中的定律。
在自然界里的存在物并不知道人为确定的坐标轴方向在那里，它继续运动下去的道路就是自己的前进方向。
物质世界根本没有〃一维〃运动、〃二维〃运动和〃三维〃运动之分。所谓的〃三维空间〃，其物理意义是告诉人们：任何一个实在的运动，最多可以分解成3个相互没有影响的独立运动之组合。虽然这种组合可以有无限多种选择，但每一个组合都只能最多由3个相互没有影响的独立运动来构成。这意味着，如果存在〃相对论效应〃，必定是在质点的瞬态运动方向上体现出来。
令质点在瞬态运动方向上的位置微变量为dL，对应的时刻微变量为dt。在质点的瞬态运动方向上，K′参照系以速度v相对于K参照系做匀速直线运动，在K系中确定出u的指向与坐标轴指向相同。直接将洛仑兹变换中的x、t、v替换成dL、dt、v ，即可得到与质点运动方向相关联的时空变换如下：
同样，直接将仿洛仑兹变换中的x、t、v替换成dL、dt、v ，即可的到：
该式子的物理意义与三维空间中两点间的距离平方和相似，可称之为四维空间中两点间的距离平方和。由于它在任意两个参照系中保持相同，特称之为〃空间不变性〃。
无论是多少维空间，只要是用瞬态运动方向上的位置微变量与对应的时刻微变量作时空变换，由于瞬态运动方向上的位置微变量等于各个分维微变量的均方根，其结果都是同样的表达方式。
当被考察质点都在作匀速直线运动时，相对论即表现为最简单的形式：狭义相对论。
由于历史原因，爱因斯坦建立的狭义相对论主要是为了解释他自己提出的光速不变假说，因此必须把洛仑兹变换引入到坐标变换之中。此时有：
人们把质点的呈现时刻和空间位置坐标放在一起来定义出新的世界点，根据洛仑兹变换推导出来的〃空间不变性〃进行数理分析，明显没有根据仿洛仑兹变换推导出来的空间不变性进行的数理分析和谐。事实上，閺可夫斯基在提出四维时空概念之后，就已经提出引入来代替t，从而使类时矢量dx，dy，dz，dt的长度dτ由原来的表达公式
dτ2 ＝ c2dt2 － dx2 － dy2 － dz2
转变成：
dτ2 ＝ －c2ds2－ dx2 － dy2 － dz2
由于引入代替t，人们在进一步的研究中得出了一个十分含蓄的奥妙公式：3×105千米＝秒 。爱因斯坦在建立广义相对论之时，也提出用代替 ，并认为选择坐标时使＝1是有利的做法，其目的就是要使给出来的数学公式显得漂亮一些。閺可夫斯基和爱因斯坦不知道仿洛仑兹变换的真正来历极其物理意义，才在洛仑兹变换与仿洛仑兹变换之间各取了一半。如果使用仿洛仑兹变换，把仿洛仑兹变换作为自然界中的存在物在两个相互做匀速直线运动的参照系中呈现的空间位置及其相应时刻都要遵守的自然法则来对待，人们既不会得出难以理解的玄妙公式，也不会受到光速不变问题所困扰。
对于在空间做匀速直线运动的质点来说，它在任意两个位置呈现的时空坐标显然满足：
它等于光脉冲在两个质点的呈现时刻之间走过的距离平方与两个质点间的距离平方之差，称之为在空间两个位置之间呈现的空间间隔。它的物理意义是：
s2 ＞ 0，表示呈现出来的质点从空间一个位置运动到另一个位置是以低于光速的速度进行运动；
s2 ＜ 0，表示呈现出来的质点从空间一个位置运动到另一个位置是以高于光速的速度进行运动。
在零时刻，为了使s2 ＞ 0，只有让所有呈现出来质点坐标都必须处于坐标原点上。这显然与事实不符合。
广义相对论实际使用的是仿洛仑兹变换，人们也可以通过引入虚时刻和洛仑兹变换来进行数学上的某种分析。
四、时空变换导致的〃物理效应〃
我们暂且假定任一质点在两个相互做匀速直线运动的参照系中呈现的空间位置及其相应的时刻是遵守洛仑兹变换关系，然后来分析一下，相对论会对自然世界作出什么样的描述。为了简化数学表达式子，我们只分析初始项都为0的洛仑兹变换。
设K′系以速度v相对于K系做匀速直线运动，在K系中确定出v的指向与X轴坐标指向相同。在t＝t′＝0的时刻，两个坐标系原点重合。一条与x轴平行的棒子与K系处于静止状态中，该条棒子两端的X坐标分别为xa 、xb ，（设其中的xa ＞xb）。显然，无论在任何时刻，该条棒子两端在K系中的X坐标都是xa 、xb 。因此，在K系中的任何时刻t1，该条棒子同时呈现的两端长度L都等于xa … xb 。按照相对论坐标变换关系，该条棒子在K′系中呈现的位置及其相应的时刻是：
请注意，由于ta1′≠ tb1′，xa1′与xb1′并不能够在K′系中同时呈现，该条棒子在K′系中呈现出来的长度不等于xa1′… xb1′！在K′系中的时刻t a1′，与xa1′同时呈现的是xb2′，与xb2′对应的呈现时刻tb2′＝ ta1′。该条棒子在K′系中的时刻t a1′呈现出来的两端长度等于xa1′… xb2′。而在K系中与xb2′对应的时刻是t2 ，按照相对论坐标变换关系：
同样道理，在K′系中的时刻tb1′，与xb1′同时呈现的是xa3′，与xa3′对应的呈现时刻ta3′＝ tb1′。该条棒子在K′系呈现出来的两端长度等于xa3′… xb1′。而在K系中与xa3′对应的时刻是t3 ，按照相对论坐标变换关系：
这说明，与K系处于静止状态的棒子在以速度v相对于K系做匀速直线运动的K′系中呈现出来的是唯一确定的长度值，同一条棒子在静止系中呈现出来的长度L与在运动系中呈现出来的长度L′之间具有确定的换算关系：
这是从静止系变换到运动系的推导结论，我们再从运动系变换到静止系中，看看推导出来的结论是否也相同。K系以速度…v相对于K′系做匀速直线运动，在K系中确定出…v的指向与X轴坐标指向相反。在t＝t′＝0的时刻，两个坐标系原点重合。一条与x轴平行的棒子以…v速度相对于K′系运动着，在K′系中的t1′时刻，该条棒子两端的X坐标分别为xa1′ 、xb1′ ；在K′系中的t2′时刻，该条棒子两端的X坐标分别为xa2′ 、xb2′ 。按照相对论坐标变换关系，该条棒子在K系中呈现的位置及其相应的时刻是：
由于ta1 ≠ tb1 、ta2 ≠ tb2 ，xa1与xb1不能在K系中同时呈现，xa2与xb2也不能在K系中同时呈现。而只能是在ta1＝tb2或ta1＝tb2情况下，xa1与xb2或xa2与xb1在K系中同时呈现。设定在ta1＝tb2之时，xa1与xb2在K系中同时呈现。由于棒子相对于K系处于静止状态，因此有xa1＝xa2＝xa 、xb1＝xb2 ＝xb。同时棒子在K′系中以…v速度作相对运动，在t1′ 到t2′时刻之间，棒子两端的坐标都将发生改变，它们遵守如下的运动方程：
棒子在K系中同时呈现出来的两端长度可计算得：
它表明，无论是从静止系变换到运动系，还是从运动系变换到静止系，数学推导结论都完全相同。由于 ，处于运动状态中的物体所呈现出来的长度要比它处于静止状态中所呈现出来的长度短。这一现象在相对论中被称之为物体在运动状态下将发生空间尺寸减小的长度缩短效应。
我们再分析一下时刻的改变情况。K′系以速度v相对于K系做匀速直线运动，在K系中确定出v的指向与X轴坐标指向相同。在t＝t′＝0的时刻，两个坐标系原点重合。在K系的任一空间点处静止摆放着一只体积可以忽略的钟，〃钟质点〃在K系中的X轴坐标为x 。静止摆放在K系中的钟从时刻t1走到t2 ，〃钟质点〃在K系中的X轴坐标始终都是x 。按照相对论坐标变换关系，〃钟质点〃在K′系中对应呈现的空间位置及其相应的时刻是：
它说明，同一只钟在与它保持处于静止状态的参照系中所显现出来的时刻改变量，比它在有相对运动的参照系中所显现出来时刻改变量要小。这是从静止系变换到运动系的推导结论，我们再从运动系变换到静止系中，看看分析结果是否与此相同。
K′系中有一只体积可以忽略的钟以…v速度相对于K′系运动着，该运动钟在K′系中从t1′走到t2′时刻，〃钟质点〃对应显现的坐标为x1′与x2′ 。按照相对论坐标变换关系，〃钟质点〃在K系中对应呈现的空间位置及其相应的时刻是：
由于〃钟质点〃相对于K′系以… v速度运动，〃钟质点〃在K′系中显现的位置与时刻之间将遵守如下的运动方程：
它表明，无论是从静止系变换到运动系，还是从运动系变换到静止系，处于运动状态中的钟所呈现出来的时刻变化量都要比它处于静止状态中所呈现出来的时刻变化量要大，并且有着明确唯一的换算关系。这一现象在相对论中被称之为物体在运动状态下将发生时刻变化量增大的时间膨胀效应。
按照同样的分析方法，当人们把仿洛仑兹变换猜想成自然界中的存在物在两个相互做匀速直线运动的参照系中呈现的空间位置及其相应的时刻都要遵守的自然法则时，推导出运动物体的长度将比它处于静止状态时的长度伸长，物体在静止系中呈现出来的长度L与在运动系中呈现出来的长度L′之间具有确定的换算关系，处于运动状态中的钟所呈现出来的时刻变化量T′比它处于静止状态中所呈现出来的时刻变化量T要小，并且有着唯一的换算关系。当v＝c时，伸长系数等于 ，缩小系数等于 /2。
仅从长度变化效应与时间变化效应上来看，仿洛仑兹变换导出的变化量相对比较小，几乎没有可检验的实际价值，但是从它们推导出来的质速关系式就很有意义。按照新的变换关系，物质的动质量M与静止质量m的关系为：
人们根据它可以计算出光子的静止质量是 2 hν/ c2 。结合牛顿第二定律的微分公式，我们可以