x ＝ x0 ＋ at2/2 ＋ ut
按照伽利略变换关系，该事件在K′参照系中的描述结果就是：
x ′＝ x － vt ＝ x0 ＋ at2/2 ＋（u － v）t
而按照狭义相对论坐标变换关系，该事件在K′参照系中的描述结果将是：
x ′＝ k（ x － vt ）
＝ kx0 ＋ kat2/2 ＋ k（u － v）t
同样，在K′系中观察到一个运动质点的运动方程如果是：
x′ ＝ x0′ ＋ at′2/2 ＋ ut′
按照伽利略变换关系，该事件在K参照系中的描述结果就是：
x ＝ x′＋ vt
＝ x0′＋ at′2/2 ＋（u ＋ v ）t
而按照狭义相对论坐标变换关系，该事件在K′参照系中的描述结果将是：
x ＝ k （ x′＋ vt′）
＝ kx0′＋ kat′2/2 ＋ k（u ＋ v ）t′
为了求出变换系数k，人们需要考察一个特殊的事件。假设光脉冲在K坐标系与K′坐标系重合的时刻开始由坐标原点沿OX轴前进，那么在任何一瞬时，光脉冲在空间的到达点相对于对这两个坐标系来说，根据光速不变原理，分别是：
x ＝ ct ， x′＝ ct′ （3）
人们把（3）式代入（1）、（2）式子中去求解，即可以得到：
在上述推导过程中，最后引入的光脉冲运动方程只是作为一个已知的特例来求解出变换系数k，它是根据光速不变假设得到的特例。如果没有这个假设出来的事件，人们就只能将K系中的运动方程 x ＝ f（t） 变换到K′系中得到：
x′＝ k f（t） － kvt
或是将K′系中的运动方程x′＝ f′（ t′） 变换到K系中得到：
x ＝ k f′（ t′） ＋ kvt′
换句话说，光速不变原理是从物理解释意义上使狭义相对论符合数理分析要求的重要环节。当然，光速不变原理并不是一个已经为实验所证实了的事实。实际上，对于极其高速运动的物体，人们已经很难测定出它在某个时刻的瞬态位置坐标值。具体到光波来说，人们可以测定出它在一定时间内走过了多长的距离，但却没有手段测定出光波波振面上某个点在任意时刻之时的瞬态位置坐标值。人们可以根据这个实际困难，认为矢量合成法则对光波的运动分析已经失效而另外提出某种假设。
从形式上看，以上的数学推导过程完全遵循了标准的数理分析方法。但是千万别忘了，在上述的推导过程中，人们使用了特殊的从坐标原点发出的光脉冲方程，它已经使所有等式在t＝0时出现了两边同时为零的情况。如果改用从坐标原点之外的其它空间点发出的光脉冲，按照爱因斯坦提出来的光速不变原理假设，从坐标原点之外的空间点发出的光脉冲方程在相互进行匀速直线运动的K′参照系和K参照系中的运动方程将是：
x′＝ x0′＋ ct′ 、 x ＝ x0 ＋ ct
把它们代入假设成立的坐标变换关系式子
x′＝ k（ x － vt ） 、 x ＝ k（ x ′＋ vt′）
之中，得到的结果是：
x0′＋ ct′＝ k（ x0 ＋ ct － vt′） ，
x0 ＋ ct ＝ k（ x0′＋ ct′＋ vt ） ；
在t′＝ t ＝ 0 的时刻，上述方程应保持成立，于是得到：
x0′＝ kx0 、 x0 ＝ kx0′
在x0′与x0不同时为0的一般情况下，只能得出k＝1 的结果。它表明，即便接受光速不变假设和狭义相对性原理假设，也还是要回到经典的伽利略变换中去。其实，人们只要把一般的直线运动方程x′＝ x0′＋ u′t′、x ＝ x0 ＋ ut代入假设成立的坐标变换关系式子之中，在t′＝t＝0时也将得出x0′＝ kx0 、x0＝kx0′的关系，结果也只能是让k＝1 。
要知道，当我们把x ′＝ k（x ＋ vt）改写成：
x ＝ x′/ k － vt
同时令 x0 ＝ x′/ k ，马上就有：
x ＝ x0 － vt
这其实就是经典的伽利略变换，只不过是把t＝0时刻的x0由原来的x′替换成了x′/ k 。如果在t＝0时刻要将x0由原来的x′替换成了x′/ k ，那么在t≠0时刻继续用伽利略变换来计算x就显然在理由上说不过去了。人们知道，t＝0时刻只是人为给出的一个初始点，本身并没有特殊意义。既然在t＝0的时刻要将x0由原来的x′替换成了x′/ k ，那么在t≠0的时刻也必须进行相应的修正，应改为：
x ＝（ x′－ vt ）/ k
然而，当我们把此式改写成：
x′＝ xk ＋ vt
同时令x0′＝ x/k ，马上就有：
x′＝ x0′＋ vt
它同样还是伽利略变换，只不过是把t＝0时刻的x0′由原来的x替换成了xk。如果在t＝0时刻要将x0′由原来的x替换成了xk，那么在t≠0时刻继续用伽利略变换来计算x′就显然在理由上说不过去。 既然在t＝0的时刻要将x0′由原来的x替换成了xk，那么在t≠0的时刻也必须进行相应的修正，应改为：
x′＝ k（x ＋ vt ）
按照同样的分析思路，当我们把上式改写成
x ＝ x′/ k － vt
同时令 x0 ＝ x′/ k ，马上就有：
x ＝ x0 － vt
它又回到了伽利略变换。如此循环下去，就如同论证〃先有鸡，还是先有蛋〃的问题一样。既然将t＝0时刻的初始值x0由原来的x′替换成了x′/ k ，与将t＝0时刻的初始值x0′由原来的x替换成了xk ，本来是为了推倒伽利略变换，但推导出来的结果都是要回到伽利略变换上去。它表明：企图通过改换t＝0时刻的初始值来推倒伽利略变换，完全是枉费心机的徒劳之事。之所以如此，原因就在于经典的物理学理论之中并没有〃同时性的相对性〃之说。
三、把人引入歧途的测量解释
在爱因斯坦最早撰写的论文〃论运动物体的电动力学〃中，乃是利用光束测量杆子的长度结果来解释狭义相对论的推导过程。请参看《相对论原理》（狭义相对论和广义相对论经典论文集）（科学出版社1980年2月出版，统一书号：13031·1187）第33～36页，在35页下面2段和36页上半部分内容中这样写到：
我们进一步设想，在动杆的两端A和B处各放置一只钟，它们与静止系统的钟是同步的，也就是说，在任一瞬间，这两只钟的指针位置都对应于它们碰巧所在之处的〃静系统时间〃，所以这两只钟也是〃在静止系统中同步〃的。
我们再设想，每一只钟各有一个运动的观察者同它在一起，他们用§1规定的规则对这两只钟进行同步。令一束光线在时刻tA离开A，于时刻tB在B被反射，在时刻tA′再回到A。根据光速恒定原理，我们得到
其中rAB 表示在静系统中得到的动杆长度。这样一来，随着动杆一起运动的观察者会发现，这两只钟并不是同步的，而静系统中的观察者则会宣称它们是同步的。
爱因斯坦在该篇论文的§1里，已经采用光束测量A、B两个静止点之间的距离方式，先定义了两只钟的同步条件是：
tB － tA ＝ tA′－ tB
如果在动杆的两端A和B处各放置一只种，它们与静止系统的钟是同步的，按照爱因斯坦提出的光速不变假设，用光束测量动杆两端时就必定要出现如下的结果
tB － tA ＝ rAB c－v 和 tA′－ tB ＝ rAB c＋v
请注意，这是在静止系中测量运动杆的结果。对动杆两端放置着的钟保持跟踪状态的观察者来说，他们与动杆相对处于静止状态。按照爱因斯坦提出的光速不变假设，用光束测量相对于观察者处于静止状态中的杆子两端，其结果应该与§1中的结论一样。因此，推理结果应该是，随着动杆一起运动的观察者会发现这两只钟是同步的，而静止系统中的观察者则会宣称它们并不同步。这样，爱因斯坦设想〃在动杆的两端A和B处各放置一只钟，它们与静止系统的钟是同步的，也就是说，在任一瞬间，这两只钟的指针位置都对应于它们碰巧所在之处的静系统时刻，所以这两只钟也是在静止系统中同步的〃说法，就与他自己根据光速不变假设推理出来的结论发生了矛盾。
按照专业的工程测量原理来分析，K′系以速度v相对于K系做匀速直线运动，在K系中确定出v的指向与x轴坐标指向相同。在t ＝ t′＝ 0的时刻，两个坐标系的原点重合。在K′系中处于静止状态的任意空间点x′，在K系中是运动点，它的坐标是x ＝ x′＋ vt 。由于必须按照某种理论上可以操作的观测方式观察空间里面的每一个质点位置，人们在K系中观测得到的质点位置与真实的质点位置之间就会因为所采取的观测方式出现误差而需要进行相应的换算。这样，人们在K系中按照规定的操作方式观测到的坐标X与按照伽利略变换出来的真实坐标x之间将存在着与运动速度v和观察用的信息传递速度c相关的换算系数k，可将它们表示为：
X ＝ k（x′＋ vt） （1）
按照同样的思路，在K系中处于静止状态的任意空间点x ，在K′系中是运动点，它的坐标是x ＝ x′－ vt ；人们在K系中按照规定的操作方式观测到的坐标X′与按照伽利略变换出来的真实坐标x′之间将存在着与运动速度v和观察用的信息传递速度C相关的换算系数k′，可将它表示为：
X′＝ k′（ x － vt）
由于坐标轴的方向是人为给定，而采取的观测方式显然与坐标轴方向无关，也就意味着观测结果与运动速度v的正负号无关，因此可判定k ＝ k′。于是得到：
X′＝ k（x － vt） （2）
请注意：（1）式中的x′与（2）式中x不是对应着同一个点，而是分别对应K′系和K系中的任意空间点。同时，在所进行的观测中，要求供观察用的信息传递速度C与相对于发出它的参照系必须是相同惟一的恒定常数。
参看图5…4，都以速度v相对于参照系进行运动的两个空间点D1、D2，两个运动点在t时刻的瞬态坐标分别是（x1 ；y1 ；z1）和（x2 ；y2 ；z2 ），按照X ＝ k（x － vt）映射关系确定出来的运动点D1′和D2′的在t时刻的瞬态坐标分别是
（ x1′； y1′； z1′）和 （ x2′； y2′； z2′），
人们可以按照图中所示，用两个连为一体，大小半径之比R/r＝k的同心转动圆盘将以速度v相对于参照系进行运动的空间点和按照 X ＝ k（x － vt）映射关系确定的映像点展示出来。从坐标系原点到D1 、D2 、D1′、D2′各点的距离，就等于从原点发出的光线到达这些点所处的空间位置时经历的时间T1 、T2 、T1′、T2′与光波传波速度C的乘积。
显然，T与t是毫不相干的两个概念。在V≠C的一般情况下，
当y和z都取为零，运动点正好处在OX轴之上时， T′与T之间将有如下比较简单的关系：
T′＝ k（T － vt/c ）＝ k（T － vt/c ）
该式子与k的取值无关。如果约定t ＝ 0时运动点处于坐标原点上，vt＝－x ， T′＝ 2kT ；只有在令V ＝ C的条件下，T才能与t在数量上始终保持相等。简言之，按照X＝k（x－vt）的关系确定出来映像点，仅仅具有上面给出的物理模型所赋予的解释意义。至于在任意指定的t时刻，两个运动点D1、D2在OX轴向上的投影距离L，与相应的映像点D1′、D2′在OX向上的投影距离L′之间呈现出来的比例关系，很容易推导得出
L′/ L＝ k
当人为设定时，k永远大于1，按照映射关系确定出来的映像点D1′、D2′在OX轴向上的投影距离比运动点D1 、D2在OX向上的投影距离总是要长一些。另外，T′不能是负值，（3）式子必须在t ≤ x/v 的条件限制下才有效。人们根本得不出由D1 、D2两个运动点连接起来的运动物体会发生长度缩短的现象。就是把由D1 、D2的映像点D1′、D2′连接起来当成测试结果，由映像点连接起来的虚构运动物体也是比真实物体的长度伸长，而不是缩短。由此可知，采用光束对长度进行测量的过程来解释相对论，显然不是正确的理解方式。
实际上，爱因斯坦只是想用光速不变原理来说明同时性具有相对性，因而才设想：〃在动杆的两端A和B处各放置一只钟，它们与静止系统的钟是同步的，也就是说，在任一瞬间，这两只钟的指针位置都对应于它们碰巧所在之处的静系统时间，所以这两只钟也是在静止系统中同步的。〃这个设想与同时才能，而且一定呈现的物理意义相符合。
在与动杆保持相对静止的参照系中观察，杆子两端放置的钟也必定是同步显示出相同的时刻。否则，它将与同时才能，而且一定呈现的同时性涵义发生抵触。
需要明白的是，动杆两端同时呈现的钟，并不是与相对于动杆保持相对静止的参照系中观察到的杆子两端放置的钟保持着同步呈现的对应关系！这是经典物理学中所没有的新思想。
在经典物理学中，自然界里同时呈现出来的任意多个质点，无论在那一个参照系中都依然是同时呈现出来的质点。而在相对论理论体系之中，凡是在不重合空间位置呈现出来的质点，如果在某个参照系中被确定为同时刻呈现，在与该参照系具有相对运动的参照系中就一定不再是同时刻呈现出来。相对论的理解困难，就在于它必须将同时性具有相对性的新思想与经典的物理学思想没有冲突的表达出来。由于爱因斯坦没有做好这个工作，因而出现了〃理想钟〃也会跟着质点的呈现时间在运动系中发生膨胀效应而发生相应变化的混乱局面。这样就使人们误以为〃理想钟〃显示的时间好像是相对时间。
必须明确同时才能，而且一定呈现的基本思想，同时性具有相对性的准则才可能被人们进行没有误解的应用。〃理想钟〃作为反映这些表达意思的参照基准，它当然必须与同时才能，而且一定呈现的基本思想保持吻合。所以无论在那一个参照系中同时呈现出来的〃理想钟〃，它们都一定显示的是完全相同的时刻。人们借用光束测量物体的空间长度，只能验证相对论的理论分析与实验结果是否相符合。鉴于时空变换关�